теория / 28 ВОПРОС

28.Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.

Производные функций, заданных неявно

Пусть зависимость переменной y от переменной x задана уравнением . Напомним, что в этом случае говорят, что функция y задана неявно. Поставим задачу нахождения производной неявно заданной функции .

Если в уравнении под y понимать функцию , то это уравнение является тождеством по переменой x:

.

Продифференцируем это тождество по x, считая, что y есть функция от x. В результате получим уравнение, содержащее . Разрешив уравнение относительно , найдем искомую производную.

Логарифмическое дифференцирование

Введем понятие логарифмической производной. Найдем производную функции . Для имеем и , для : и . Таким образом, .

С учетом полученной формулы найдем, что

.

Определение. Производная от называется логарифмической производной.

Найдем производную показательно-степенной функции .

Прологарифмируем функцию y и затем продифференцируем полученное равенство:

.

Домножив на , окончательно получим

, или .

Нетрудно заметить, что первое слагаемое в правой части равенства получается, если дифференцировать функцию как степенную, считая , а второе – если рассматривать как показательную, полагая .

Логарифмическое дифференцирование удобно применять, если требуется найти производную большого числа сомножителей. Пусть дана функция . Логарифмируя, имеем

.

Тогда . Умножим на y:

.