теория / 2 ВОПРОС

2. Отображение множеств. Эквивалентность множеств. Числовые множества.

Пусть A,B – два произвольных множества и f – закон (правило), по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Говорят, что задано отображение f множества A на множество B и обозначают или

Элемент , в который отображен , называют образом элемента a при отображении f и обозначают f(a). Элемент a в этом случае называют прообразом элемента f(a).

Определение отображения коротко записывается так:

Множество образов всех элементов при отображении f называют образом множества A при этом отображении и обозначают f(A):.

Задание отображения - это задание тройки (A, f, B), где A – отображаемое множество; B – множество значений отображения; f – закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие элемент .

Отображение называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент является образом только одного элемента :

f – взаимно однозначное отображение , .

Если отображение есть взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A и B, то можно говорить об обратном отображении.

Отображение называют обратным к отображению f, если , , т.е. элементу ставится в соответствие тот элемент , образом которого при отображении f является b:

.

Эквивалентные множества:

Два множества A и B называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое.

Эквивалентность множеств A и B обозначается так:

Св-ва эквивалентности:

1) (рефлексивность); 2) если , то (симметричность);

3) если , , то (транзитивность).

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Если множество счетно его можно занумеровать.

Числовые множества.

Множество натуральных чисел.,

Определены операции суммы и произведения . Обе операции подчиняются коммутативному и ассоциативному закону, а умножение – еще и дистрибутивному закону относительно сложения. Операции вычитания и деления в N не всегда выполнимы, так как частное и разность не всегда принадлежат N. , счетно и бесконечно.

Множество целых чисел. Объединение натуральных чисел, чисел, им противоположных и нуля составляют множество целых чисел Z: Z = {...,–3,–2,–1,0,1,2,3,...}.

Множество Z обладает следующими свойствами: ; счетно и бесконечно;

Определены операции сложения, умножения и вычитания.

Множество рациональных чисел Q. Множество чисел вида , где , является множеством рациональных чисел Q, его элементы обозначают q, т.е. .

Множество рациональных чисел Q обладает следующими свойствами:

; , счетно и бесконечно; Q упорядочено;

В множестве Q выполнимы четыре арифметические операции (кроме деления на 0), причем сложение и умножение подчиняются коммутативному и ассоциативному законам, а умножение – еще и дистрибутивному закону относительно сложения.

Множество действительных чисел. Объединение рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел R. Перечислим основные свойства множества действительных чисел R, большинство из которых совпадают со свойствами множества Q: . R бесконечно, упорядоченно, несчетно.

В множестве R определены операции сложения, вычитания, умножения, деления (кроме деления на ноль), возведения в степень и другие.