теория / 40 ВОПРОС

40.Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

О-е. График дифференцируемой в интервале (a, b) функции у=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) на (a, b), если дуга кривой у=f(x) х(a, b) расположена ниже касательной, проведенной к графику этой функции в любой точке х(a, b) (рис.1,а).

О-е. График дифференцируемой в интервале (a, b) функции у=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на (a, b), если дуга кривой у=f(x) х(a, b) расположена выше касательной, проведенной к графику этой функции в любой точке х(a, b) (рис.1,б).

О-е. Точка М(х₀; f(x₀)) графика дифференцируемой функция у=f(x), в которой направление выпуклости изменяется на противоположное называется точкой перегиба.

Достаточный признак вогнутости (выпуклости) графика функции

Теорема 1. Пусть функция у=f(x) на (a, b) дважды дифференцируема и f(x) >0 х(a, b), то график этой функции на (a, b) вогнутый вверх (выпуклый вниз). Если же функция у=f(x) на (a, b) дважды дифференцируема и f(x) 0 х(a, b), то график этой функции на (a, b) выпуклый вверх (вогнутый вниз).

Достаточные условия существования точек перегиба

Теорема 2. Если для функция f(x) f(x) =0 или не существует и при переходе через х₀ f(x) меняет свой знак, то точка х₀ является точкой перегиба графика функции.

Теорема 2 показывает, что вторая производная f(x) при выявлении точек перегиба функции f(x) играет ту же роль, какую имеет первая производная f(x) при исследовании функции f(x) на экстремум. Точки, в которых f(x) =0 или f(x) не существует, называются критическими точками 2-го рода.