теория / 39 ВОПРОС

39.Достаточные условия существования экстремума функций. Абсолютные экстремумы функций на отрезке.

Выяснить, какая из критических точек функции будет точкой ее локального экстремума, можно с помощью трех достаточных признаков существования экстремума функции.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть х₀ – критическая точка непрерывной функции f(x). Если f(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с «+» на «–»,

то f(x) имеет в точке х₀ локальный максимум. Если f(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с «–» на «+»,

то х₀ – точка локального минимума функции f(x).Если же f(x) при переходе через точку х₀ не меняет знак, то х₀ не является точкой локального экстремума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Пусть х₀ – стационарная точка функции f(x), дважды дифференцируемой в . Тогда, если f(x)0, то х₀ является точкой локального минимума f(x). Если же f(x)<0, то х₀ – точка локального максимума.

Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции). Пусть функция f(x) – n раз непрерывно дифференцируема в точке х₀ и f(x₀)= f(x₀)= …=f^(n-1) (x₀)= 0, f⁽ⁿ⁾ (x₀)0,. Тогда:

1) если n – четное и f⁽ⁿ⁾ (x₀)<0, то х₀ – точка локального максимума; 2) если n – четное и f⁽ⁿ⁾ (x₀)>0 то х₀ – точка локального минимума; 3) если n – нечетное, то х₀ – точка локального экстремума;

Абсолютный экстремум функции

Определение. Наименьшее и наибольшее значения функции на в отличие от локальных ее экстремумов называют абсолютными минимумом и максимумом функции f(x) и обозначают .

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] и пусть – точки локальных экстремумов. Тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса (теорема 2 п.4.10) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) существуют; эти значения f(x) принимают на концах этого отрезка или в точках ее локального экстремума. Следовательно, для отыскания абсолютных экстремумов надо найти ее значения на концах отрезка [a; b] и в точках локального экстремума и выбрать соответственно наименьшее и наибольшее из них. Таким образом,