теория / 21 ВОПРОС

21.Понятие производной. Механический и геометрический смысл производной.

Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки х₀. Если х₀ получает приращение dx, положительное или отрицательное, такое что х₀+х принадлежит окрестности точки х₀, то приращение функции определяется выражением f(х₀)= f(х_0+ х)- f(х₀).

О-е: если функция f определена в левой (правой) окрестности точки х₀ и существует конечный или бесконечный предел lim ((f(х_0+ х₀)- f(х₀))/ _ х) (_ х00), то он является соответственно конечной или бесконечной производной слева (справа) функции f в окрестности точки х₀ и обозначается f(x₀-0), f(x₀+0).

Левую и правую производные называют односторонними производными.

Если f определена в окрестности точки х₀ и существуют f(x₀), то f(x₀)= f(x₀-0)=f(x₀+0).

Для нахождения производной функции у= f(x) необходимо вычислить:

1. Придав фиксированному аргументу хD(f) приращение х, вычислить значение функции у+у= f(х_+ х)

2. Найти приращение функции у= f(х_+ х) - f(х)

3. Составит соотношение у/D(x)= (f(х_+ х)- f(х))/ _ х

4. Найти предел при стремлении _ х0 y= lim ((f(х_+ х)- f(х))/ _ х) (_ х0)

Механический смысл производной: средняя скорость изменения функции: y=f(x), v_ср=f(x)/ x

Производная – математическая модель мгновенной скорости процесса описываемого функцией f(x).

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона к касательной.

Уравнение касательной и нормали:

у-у₀= f(x₀)(x-х₀) - касательная

у-у₀= (-1/f(x₀))(x-х₀)- нормаль

Угол между кривыми – угол между касательными в точки пересечения.