теория / 7 ВОПРОС

7. Полярная система координат. Уравнения некоторых линий в полярной системе координат.

Положение точки на плоскости можно определять не только в декартовой системе координат, но и в так называемой полярной системе координат.

Полярная система координат задается: точкой O, называемой полюсом, и выходящей из этой точки полупрямой, называемой полярной осью с выбранной на ней единицей масштаба

Положение точки M на плоскости определяется двумя числами: числом , выражающим расстояние точки M от полюса, и числом – величиной угла, образованного отрезком OM с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла  считается направление против хода часовой стрелки. Числа  и  называют полярными координатами точки M и обозначают М(,).

Полярный угол определен с точностью до слагаемого , . Положение любой точки на плоскости (кроме полюса) однозначно соответствует координатам  и , если 0≤≤∞, 0≤≤2k, (или -≤). Для полюса , – произвольное. В дальнейшем полярное расстояние будем всегда считать положительным.

Cвязь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами. (2)

В последней формуле при определении нужно учитывать, в какой четверти находится точка.

Рис. 4

Уравнения некоторых линий в полярной системе координат

1.Прямая линия,

А) проходящая через полюс:.y=kx, x=r*cos , y= r*sin  k*r*cos = r*sin k=tg

B) не проходящая через полюс: Ах+Ву+С=0r=/cos(-£), где -расстояние от прямой до полюса, £ - угол наклона нормального вектора прямой n(А,В)

2. Окружность.

а) Окружность с центром в начале координат (рис а) .

б) Окружность с центром, смещенным по оси Ox (рис. б)

, .

в) Окружность с центром, смещенным по оси Oy (рис. в)

, .

3. Линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола)

Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат имеет вид

,

где b – параметр, – эксцентриситет. При - эллипс при – гипербола, при – парабола.

Переход к декартовым координатам:

r=(x²+y²)^1/2, cos=x/ (x²+y²)^1/2

Розы. Розами называются семейство кривых, уравнение которых в полярных координатах имеет вид:

или , – положительные числа.

Так как , то кривые находятся внутри круга радиуса a. Вследствие периодичности функций и розы состоят из конгруэнтных лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен a. Если , то роза состоит из k лепестков (если кривая строится для ).

, .

5. Спираль Архимеда определяется как траектория точки, движущейся из точки O с постоянной скоростью v по лучу, вращающемуся около полюса O с постоянной угловой скоростью . Уравнение в полярных координатах имеет вид

, .