теория / 30 ВОПРОС

30.Производные высших порядков.

Пусть функция определена и дифференцируема на интервале . Тогда в любой точке интервала существует . Производная в этом случае представляет собой функцию, определенную на и может иметь производную.

Механический смысл второй производной – ускорение.

О-е. Производной n-го порядка функции называется производная от производной -го порядка и обозначается символами , , , . Таким образом, .

Число n называется порядком производной и заключается в круглые скобки, в отличие от n-ой степени функции y.

Так как любая производная высшего порядка определяется через производную первого порядка, то техника вычисления производных n-го порядка – техника вычисления производных первого порядка.

Производные высших порядков от функций, заданных неявно и параметрически

Пусть функция неявно задана уравнением . Для нахождения следует дифференцировать тождество по переменной x, а затем алгебраически выразить из полученного уравнения. Для отыскания производных высших порядков эти действия повторяют необходимое число раз. При этом нужно помнить, что функция и все ее производные есть функции независимой переменной x.

Пусть функция задана параметрически: . Ее первая производная также является функцией, заданной параметрически уравнениями Поскольку вторая производная от y по x есть первая производная от, то для нахождения следует продифференцировать параметрически заданную функцию . В результате получим

Аналогично находится третья производная и производные более высоких порядков:

.