теория / 31 ВОПРОС

31.Дифференциалы высших порядков

Пусть – дифференцируемая на интервале функция. Тогда для любой точки определен дифференциал . Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению и не зависит от точки x. Зафиксируем . Тогда dy есть функция только от x и можно находить ее дифференциал.

О-е. Дифференциал от дифференциала первого порядка функции y=f(x) в данной точке x называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом и обозначается или .

Таким образом, . Аналогично определяется дифференциал третьего порядка от функции , а также дифференциал n-го порядка.

, .

Получим формулу для дифференциала второго порядка:.

В последнем равенстве приняли вместо обозначение . С помощью метода математической индукции устанавливается аналогичная формула для дифференциала n - го порядка:

.

Из формул для дифференциалов следует, что символы , ,...,, обозначающие производные и рассматриваемые ранее как цельные, могут являться и обычными дробями. Таким образом, n-ая производная равна отношению (частному) n-го дифференциала к n-ой степени дифференциала x, если x является независимой переменной. .