теория / 9 ВОПРОС

9. Число e. Натуральные логарифмы.

Рассмотрим последовательность . Докажем, что она сходится и найдем ее предел. Так как с возрастанием показателя n основание степени убывает, монотонность не является очевидной. Чтобы доказать монотонность, воспользуемся формулой бинома Ньютона

для последовательности :

. (1)

Если записать выражения для , то есть увеличить n на единицу, то значение каждой скобки в (1) увеличится и добавится одно положительное слагаемое. Следовательно и – возрастающая последовательность.

Покажем, что она ограничена сверху.

.

Последнее неравенство выполняется в силу того, что прогрессия (с первым членом 1/2) имеет сумму, меньшую единицы. По теореме о пределе монотонной последовательности имеет конечный предел, который обозначают буквой e:.

Число e введено Л. Эйлером и имеет исключительную важность для математического анализа и его приложений, является иррациональным: .

Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются знаком ln без указания основания, то есть

.

Десятичные логарифмы связаны с натуральными формулой

, где называют модулем перехода.