теория / 36 ВОПРОС

36.Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Формула Тейлора (Маклорена) показывает, что с определенной степенью точности функции можно заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями.

Получим формулы Маклорена для некоторых (основных) функций:

Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, где .(1)

1. .

При х₀=0 получим , . Подставляя вычисленные значения в (1) имеем , .

2. . Найдем значения функции и производных в точке нуль.

,

, . При имеем: , ; , .

Следовательно,

.

3. . Аналогично предыдущему случаю можно получить

и подставить значения функции и ее производных при в (7), получим

, где .

4. . Функция определена и бесконечно дифференцируема в интервале . Найдем выражения для ее производных

,...,

, .

Тогда

, .

Подставляя вычисленные значения в (7), получим

, .

5. . Функция , , определена и бесконечно дифференцируема в (–1,1). Найдем выражения для ее производных и вычислим функцию и ее производные при .

,

,

.

Из формулы (1) имеем

,

где , .