теория / 24 ВОПРОС

24.Производная и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

Производная сложной функции

Теорема 1. Пусть сложная функция является композицией функций и . Внутренняя функция имеет в некоторой точке производную и внешняя функция имеет в соответствующей точке производную . Тогда функция имеет в точке производную

.

 По определению, . Тогда из теоремы о связи функции с ее пределом следует: или , где при . Разделим последнее равенство почленно на и перейдем к пределу при :

.

Таким образом, существует и, по определению, он равен . Поэтому . 

Если называть функцию промежуточным аргументом, а x – основным аргументом, то правило дифференцирования сложной функции можно сформулировать следующим образом: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по основному аргументу (что еще записывают так: ).

Полученное правило сохраняет свою справедливость для композиции нескольких функций. Например, если , , , и все функции дифференцируемы, то сложная функция имеет производную по x, и она вычисляется по формуле .

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

Пусть дана сложная функция . По определению дифференциала .

По правилу вычисления производной сложной функции . Тогда . Учитывая, что , получим другое выражение для дифференциала : .

Формулы для дифференциала совпадают по форме, что означает: дифференциал функции всегда равен произведению производной и дифференциала аргумента, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной (x) или функцией , то есть промежуточным аргументом. В этом и заключается свойство инвариантности формы дифференциала.