теория / 3 ВОПРОС

3. Ограниченные множества. Верхние и нижние границы числовых множеств.

Множество действительных чисел A называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число M (число m), что каждый элемент удовлетворяет неравенству . При этом число M (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества A.

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. В самом деле, если действительное число M является одной из верхних граней множества A, то любое действительное число также является верхней гранью множества A (так как ).

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью. Другими словами, действительное число M является точной верхней гранью множества , если

и .

Точную верхнюю грань обозначают , или

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью. Другими словами, действительное число m является точной нижней гранью множества , если

и .

Точную нижнюю грань обозначают , или

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Примерами ограниченных множеств являются , (a, b), множество значений cos x и другие.

Среди множеств, принадлежащих R, существуют такие, которые не являются ограниченными. Их называют неограниченными множествами.

Для множеств, неограниченных сверху, принимают дополнительно , а для неограниченных снизу полагают .

Непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань. Непустое ограниченное снизу множество действительных чисел имеет точную нижнюю грань.