теория / 8 ВОПРОС

8.Числовая последовательность и ее предел. Признаки сходимости числовых последовательностей. Вычисление пределов числовых последовательностей.

Если каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность.

Числовую последовательность обозначают или кратко . Числа называют членами последовательности, – общим или n-м членом последовательности.

Числовая последовательность может быть определена заданием ее n-го члена формулой или, например, с помощью рекуррентной формулы. Возможны и другие способы задания числовой последовательности, не сводящиеся к указанным. Например, последовательность простых чисел , , ,...; последовательность десятичных знаков числа ,  .

Св-ва последовательностей:

1. {U_n} – ограничена снизу mR: U_nm  nN

2. {U_n} – ограничена сверху MR: U_nM  nN

3. {U_n} – ограничена  m,MR: mU_nM  nN

4. {U_n} – возрастает n₁, n₂N, n₁<n₂ U_n1< U_n2

5. {U_n} – убывает  n₁, n₂N, n₁<n₂ U_n1>U_n2

6. {U_n} – не возрастает n₁, n₂N, n₁<n₂ U_n1U_n2

7. {U_n} – не убывает  n₁, n₂N, n₁<n₂ U_n1U_n2

Предел числовой последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется натуральное число (зависящее от ) такое, что при всех выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность стремится (сходится) к числу a, или что предел последовательности равен a.

Запишем определение предела последовательности кратко:

.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела – расходящейся.

Последовательность имеет бесконечно большой предел, если

1.MR _-  N_mN:n>N_m U_n<M

2. MR ₊  N_mN:n>N_m U_n>M

Последовательность называется бесконечной малой, если

>0  NN: n> N U_n< 

Т: 1) Если последовательность сходиться, то она ограничена (необходимый признак сходимости); 2) Всякая ограниченная монотонная последовательность сходиться (достаточный признак сходимости); 3) Если lim x_n=a, lim z_n=a и начина с некоторого номера n выполняется неравенство x_n≤ y_n≤ z_n, то lim y_n=a.

T: если последовательности {u_n} и {v_n} сходятся и lim u_n=a, lim v_n=b, то 1) lim(с*u_n)=с*a,

2) lim(u_n* v_n)=a*b, 3) lim(u_n± v_n)=a±b, 4) lim(u_n/v_n)=a/b