теория / 50 ВОПРОС

50.Вычисление неопределенных интегралов вида

Дифференциал вида , (1) где a, b – любые постоянные, а показатели m,n,p – рациональные числа, называется биномиальным дифференциалом или дифференциальным биномом. Соответственно интегралы вида (2) называются интегралами от дифференциального бинома . Они приводятся к интегралам от дробно-рациональной функции и интегрируются в конечном виде, т.е. выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях.

Первый случай. Число , т.е. p – целое число. Если через s обозначить (наименьший) общий знаменатель дробей m и n, то выражение (1) примет вид . Для его рационализации применяется подстановка , где s – наименьший общий знаменатель дробей m и n.

Второй случай. Число q – целое, т.е. . Тогда в (3) снова получаем выражение изученного типа , где s – знаменатель дроби . Рационализации подынтегрального выражения (1) можно достигнуть и сразу, применяя подстановку или .

Третий случай. Число p+q – целое, т.е. .

или , где s – знаменатель дроби .

Итак, интеграл (2) приводится к интегралу от дробно-рациональной функции и выражается в конечном виде, если является целым хотя бы одно из чисел .

Эти случаи интегрируемости были известны еще И. Ньютону. Л. Эйлер безуспешно искал новые случаи интегрируемости биномиального дифференциала и пришел к убеждению, что эти три случая – единственные. Но только в середине 19 века П.Л. Чебышев доказал, что во всех других случаях биномиальные дифференциалы (1) не интегрируются в конечном виде, т.е. не выражаются через элементарные функции.