теория / 1 ВОПРОС

1. Понятие множества. Логические знаки. Операции над множествами.

Понятие множества является одним из важнейших исходных и неопределяемых понятий современной математики. Создатель теории множеств Г. Кантор (1845 – 1918) использовал следующее “определение”: множество это собрание определенных и различных объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве целого. Объекты или предметы, составляющие множество, называются его элементами.

Пусть A – множество. Тот факт, что элемент a входит в множество A или принадлежит множеству A, обозначается символом: . Если a не принадлежит множеству A, пишут (или).

Множество, не содержащее элементов называется пустым и обозначается символом .

Множества бывают конечные и бесконечные . Если А конечное множество, то число его элементов A- мощность множества. Множество A(А≠) называется подмножеством множества B(В≠), если каждый элемент множества A является элементом множества B. Если A – подмножество B, то пишут аАаВ Если и A  BАВ Множество, содержащее все рассматриваемые в какой-либо задаче подмножества, называется универсальным. Будем обозначать его V.

Множества задаются следующими способами:

1) Перечислением (указанием) его элементов; например, если множество A состоит из элементов a,b,c,...,k, то пишут A:={a,b,c,...,k} (читается: “A по определению есть множество с элементами a,b,c,...,k ”).

2) Указанием свойства P(a) элементов некоторого фиксированного основного множества X. Это записывается так

Множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A. Равенство множеств A и B обозначается A = B. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Св-ва равенство:

1. A = A (рефлексивность); 2. A = B, B = C  A = C (транзитивность); 3. A = B  B =A (симметричность).

Логические знаки

Логические знаки - специальные обозначения некоторых словосочетаний, выражающие наиболее важные и часто используемые в математике отношения между объектами.

- знак принадлежности “принадлежит”  – знак логического следования “влечет за собой”, “следует”

 – знак эквивалентности “тогда и только тогда” – квантор всеобщности “для всех”, “для каждого”

 – квантор существования“существует”

Операции над множествами

Объединением множеств A и B называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат A или B (или обоим одновременно):

={x(xА xВ) ( xА xВ)  (диаграмма Эйлера-Венна)

Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам, . Очевидно, что , , .

Пересечением множеств A и B называется множество , которое состоит из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам:.

Операция пересечения также подчиняется коммутативному и ассоциативному законам, т.е., . Очевидно, что , , . Операции объединения и пересечения подчиняются дистрибутивным законам , .

Разностью двух множеств B и A называется множество B\A, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A: .

Разность U\A называется дополнением множества A до универсального множества U и обозначается .

Очевидно, что , , , , .

Введем теперь операцию декартова произведения двух множеств A и B. Пара (x,y) называется упорядоченной, если указан порядок записи элементов x и y. При этом считается, что тогда и только тогда, когда , . Элементы x и y упорядоченной пары (x,y) называются координатами этой пары; x – первая координата, y – вторая.

Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое , состоящее из всевозможных упорядоченных пар (x,y):

.