теория / 55 ВОПРОС

55.Формула Ньютона-Лейбница.

Функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], имеет на этом отрезке первообразную. Например, в качестве первообразной можно взять функцию , т.е. интеграл с переменным верхним пределом.

Поставим теперь о б р а т н у ю задачу: зная одну из первообразных Ф(x) функции f(x) на отрезке [a, b], вычислить определенный интеграл от функции f(x) на этом отрезке или, что то же, найти определенный интеграл по известному неопределенному.

Следующая теорема, представляющая собой решение этой задачи, дает основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона-Лейбница). Она выражает определенный интеграл через неопределенный (первообразную).

Т. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то , (1)

где F(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b].

Так как первообразные и F(x) отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то имеет место равенство , .

Подставляя в это равенство значение x = a, имеем ,

т.е. .

Полагая x = b и обозначая переменную интегрирования через x, получаем формулу (1) – основную формулу интегрального исчисления, которая называется формулой Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона - Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a, b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x = b и x = a.

Часто разность справа изображают символом (“двойная подстановка от a до b”) и формулу (1) для вычисления определенного интеграла пишут в виде

. (2)

Формула (1) позволяет избавиться от вычисления определенных интегралов как пределов интегральных сумм, и задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла