теория / 5 ВОПРОС

5.Сложная функция. Обратная функция. Классификация функций.

Сложная функция.

Если переменная y является функцией от u, то есть y=f(u), а переменная u, в свою очередь, является функцией от x, то есть u=(x), то y является сложной функцией от x, то есть y=f((x)), определенной для тех значений x, для которых значения функции (x) включаются в область определения функции f(u).

При этом говорят, что y является сложной функцией независимого аргумента x, а u – промежуточным аргументом, или, что y – суперпозиции (x) и f(u).

Обратная функция

При взаимно однозначном (биективном) отображении множества D на множество E каждый элемент y множества E является образом одного и только одного элемента x множества D и наоборот.

Функция y=f(x) – взаимно однозначная, если для любого существует такое , что y=f(x) и функция принимает различные значения для различных значений аргумента, то есть , при .

Пусть – взаимно однозначная функция. Так как каждому элементу соответствует единственный элемент , то говорят что на множестве E определена функция, обратная к функции , которую обозначают или .

Примере и – взаимно обратные функции.

Теорема 1 (достаточное условие существования обратной функции).

Если функция монотонна на некотором промежутке, тона этом промежутке существует обратная функция . При этом, если f – возрастающая функция, то и – возрастающая, если f – убывающая, то и – убывающая.

Перечислим здесь некоторые классы функций, получивших название элементарных.

Алгебраические функции

К числу алгебраических функций относятся элементарные функции следующего вида:

1. Целая рациональная функция или многочлен ,

где – постоянные числа, называемые коэффициентами, n – целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена. Область определения . Частными случаями целой рациональной функции являются линейная функция и квадратичная функция .

2. Дробная рациональная функция определяется как отношение двух многочленов

.

Она определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Простейшим примером дробной рациональной функции является функция , выражающая обратную пропорциональную зависимость.

3. Иррациональная функция – функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями, и не являющаяся рациональной. Примеры иррациональных функций: , и т.п.

Алгебраической функцией называется функция , удовлетворяющая уравнению, где – некоторые многочлены от x.

Также можно назвать класс функций, не относящегося к классу алгебраических функций – это трансцендентные функции (sinx, lnx, chx и т.д)