теория / 41 ВОПРОС

41.Асимптоты графика функции. Методы построения графика функции в декартовой системе координат. Общая схема исследования функций.

При исследовании поведения функции на бесконечности, то есть при и при , или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой сколь угодно малы при достаточно большом удалении от начала координат. Такую прямую называют асимптотой графика.

Различают асимптоты вертикальные (то есть параллельные оси ординат) и наклонные. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности, т.е. или Прямая называется наклонной (если – горизонтальной) асимптотой графика функции при (), если функцию f(x) можно представить в виде , где при (), то есть, если

или .

Т. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:

Если оба предела (1) существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая называется двусторонней асимптотой. Если пределы (1) существуют, но при они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты. Если же хотя бы один из пределов (1) не существует, то наклонных асимптот нет.

Общая схема исследования функций.

Пусть функция дважды дифференцируема в рассматриваемом промежутке [a, b] или на D(f), кроме, быть может, конечного множества точек.

Тогда исследование функции и построение ее графика можно выполнять по следующей схеме.

1. Находим естественную область определения (существования) D(f) , нули функции, точки пересечения графика функции с осью ординат. Исследуем функцию на периодичность, симметрию (четность, нечетность).

2. Исследуем f(x) на непрерывность, определяем точки разрыва, вертикальные асимптоты. Определяем односторонние пределы в точках разрыва.

3. Находим наклонные, в частности, горизонтальные асимптоты графика функции (если они существуют).

4. Находим первую производную функции. С ее помощью определяем критические и стационарные точки, угловые точки, точки возврата и интервалы монотонности.

5. Находим вторую производную. С ее помощью определяем интервалы вогнутости и выпуклости графика функции, критические точки 2-го рода и точки перегиба. Определяем локальные и абсолютные экстремумы функции на D(f) .

При этом во всех характерных точках (разрыва, экстремума, перегиба) вычисляем значения функции f(x).

На основании проведенного исследования строим график функции. Если функция четна или нечетна, то ее достаточно исследовать и построить график при положительных значениях x. При отрицательных значениях аргумента график строится с учетом того, что график четной (нечетной) функции симметричен относительно оси ординат (начала координат).

Часто перед построением графика составляют таблицу, отражающую информацию, полученную в результате исследования.