теория / 67 ВОПРОС

67.Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

О-е: функция z=z(x,y) имеет в точке M₀(x₀;y₀) max(min), если >0:x,y: x₀-₀<x< x₀+₀; y₀-₀<y< y₀+₀M(x;y)D и z(x₀,y₀)> z(x,y)-max; z(x₀,y₀)<z(x,y)-min.

Точка M₀(x₀;y₀) координаты которой обращают в ноль производные функции z=z(x,y) называется стационарной точкой.

Необходимое условие достижение дифференцируемой функцией z=z(x,y) экстремума в точке M₀(x₀;y₀) геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности в точке M₀ параллельна плоскости XOY.

Для отыскания стационарной точки функции z=z(x,y) нужно: приравнять к нулю dz/dx и dz/dy и найти действительные корни этой системы уравнений.

Заметим, что точки экстремума могут быть точки, в которых не существуют dz/dx и dz/dy.

Точки экстремума могут быть точки стационарные и точки, в которых функция не дифференцируема.

Достаточные условия экстремума для функции 2-х переменных.

Необходимый признак экстремума не является достаточным.

Пусть функция z=z(x,y) непрерывна со своими частными производными 1-го и 2-го порядка. Точка M₀(x₀;y₀) – стационарная.

Вычислим

А= В= С=

Если А*С – В²>0экстремум max при A<0, min при А>0

Если А*С – В²<0экстремума нет

Если А*С – В²=0требуется дополнительное исследование

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в ограниченной замкнутой области необходимо:

1. Найти max и min внутри области

2. Найти наибольшее и наименьшее значение на границе

3. Составить таблицу

4. Наибольшее значение будет наибольшим, наименьшее - наименьшим