теория / 26 ВОПРОС

26.Производные и дифференциалы основных элементарных функций.

Логарифмическая функция

.

В частном случае при имеем .

Соответственно, , .

Для сложной функции производная и дифференциал вычисляются по формулам

, .

Степенная функция

Пусть . Если , то .

Продифференцируем полученное равенство по x, используя правило дифференцирования сложной функции: , , .

Подставив , получим .

Если , то представляя функцию y в виде и дифференцируя, с учетом свойства , получим ту же формулу

.

Дифференциал степенной функции

.

Показательная функция

Пусть , где . Прологарифмируем равенство , а затем продифференцируем по x полученное соотношение, используя правило нахождения производной сложной функции.

.

Итак, , .

В частном случае, если , получим

, .

Тригонометрические функции

.

Аналогично доказывается, что для функции производная и для , .

Пусть . Используя правило дифференцирования частного, получим

.

Для сложной функции производная и дифференциал вычисляются по формулам

, .

Аналогично доказывается, что для функции

, .