теория / 56 ВОПРОС

56.Основные методы вычисления определенного интеграла.

Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Основным методом является применение формулы Ньютона-Лейбница, которое содержит два этапа: вычисление неопределенного интеграла (или первобразной F(x)) и двойную подстановку . В результате вычисление определенного интеграла сводится к вычислению неопределенного. Для вычисления последнего могут быть использованы табличные интегралы .

Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т.е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле основано на следующей теореме.

Т.. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем значения не выходят за пределы отрезка [a, b], когда t изменяется в ; , . Тогда справедлива формула , (1)

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле. Чтобы вычислить определенный интеграл по этой формуле, необходимо сделать замену , где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция, вычислить , решить уравнения и и найти пределы и интегрирования по t.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Т. Пусть u(x) и v(x) – функции, дифференцируемые на отрезке [a, b]. Тогда справедлива формула

,или , (2)

называемая формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.