теория / 44 ВОПРОС

44.Интегрирование заменой переменной. Примеры. Интегрирование по частям. Примеры.

Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле от переменной x переходят к переменной t по формуле , откуда .

Т. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве T и пусть X – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве X функция f(x) имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула . (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

 Формула (1) справедлива, если после дифференцирования обеих ее частей получаются одинаковые выражения. Учитывая, что – сложная функция, имеем .

Продифференцировав правую часть формулы (1), получим .

Таким образом, формула (1) справедлива. 

Функцию стараются подобрать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приняла вид, для которого разработаны методы нахождения первообразной.

Допустим, что интеграл, стоящий в правой части формулы (1) известен: .

Отсюда легко найти искомый интеграл в виде функции от x. Для этого уравнение следует разрешить относительно t. Если , то .

Пример . Найти .

Р е ш е н и е. Положим , отсюда , . Поэтому

.

При интегрировании с помощью замены переменной важно подходящим образом сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций (тригонометрических, иррациональных и т.д.).

Интегрирование по частям.

Метод интегрирования по частям является следствием формулы для производной или дифференциала произведения двух функций. Пусть и – две функции переменной x, имеющие непрерывные производные и . Тогда . (1)

Интегрируя обе части равенства (1), получаем. Но так как , то

. (2)

Соотношение (2) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла можно свести с вычислению другого интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (2) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (2) отсутствует произвольная постоянная C, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Пример 1. Вычислить .

.