теория / 6 ВОПРОС

6.Параметрическое задание функций. Параметрическое задание некоторых линий на плоскости.

Пусть , – функции одной независимой переменной . Если имеет обратную функцию , то функцию , можно рассматривать как сложную функцию, отображающую x в y посредством промежуточной переменной t: .

Переменную t называют параметром и говорят, что функция y от x задана параметрически:

В формуле (1) для удобства записи и восприятия функция обозначена через , а через .

Рассмотрим параметрическое задание наиболее часто употребляемых в математическом анализе кривых.

Множество точек М(х,у) плоскости R² координаты которых удовлетворяют x=x(t), y=y(t), tT рически задают линию lR²

1. Прямая

2. Окружность с центром в начале координат радиуса a:

3. Эллипс

4. Парабола

x=t t[0;∞)

y²=2рх y²=2рt

5. Гипербола

x=a*cht tR

x²/a² – y²/ b²=1 y=b*sht

6. Астроида (рис.1) – замкнутая кривая, являющаяся траекторией точки M, лежащей на окружности радиуса r, которая катится по внутренней стороне неподвижной окружности радиуса . Ее уравнение имеет вид

Здесь параметр t – угол между положительным направлением оси Ox и радиус – вектором текущей точки , отсчитываемый против хода часовой стрелки.

7. Циклоида– кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Циклоида состоит из конгруэнтных, совмещающихся при перемещении на плоскости дуг, каждая из которых соответствует полному обороту катящейся окружности. Параметрические уравнения циклоиды имеют вид