7. Складываем (6.128) и (6.130)

. (6.133)

8. Дифференцируем (6.105)

раз

.

Первое слагаемое выражаем по формуле Лейбница

,

получаем

.

Результат умножаем на и сравниваем с (6.118)

,

находим

. (6.134)

9. Соотношение (6.132)

умножаем на

. (6.132а)

Соотношение (6.134) умножаем на

. (6.134а)

Из (6.132а) вычитаем (6.134а), последние слагаемые сокращаются, и находим

. (6.135)

10. Из (6.127)

и из (6.135) исключаем и получаем

. (6.136)

11. Исключаем из (6.133), (6.134) и учитываем (6.135). Получаем соотношение с одинаковыми верхними индексами

. (6.137)

12. Из (6.137) и (6.127) исключаем и находим

. (6.140)

Интегралы с полиномами лежандра

1. Выполняется

. (П.6.12)

Доказательство

Упрощаем интеграл, используя рекуррентное соотношение (6.125)

,

получаем

.

Интегралы сводятся к условию ортонормированности (6.123)

.

Получаем первое слагаемое в квадратной скобке (П.6.12)

,

где

.

Аналогично находим второе слагаемое

,

где

.

В результате получаем (П.6.12).

2. Проверим выполнение условий ортогональности (6.123) и (6.124)

, ,

, ,

полученных методом факторизации. Используем уравнение Лежандра (6.115) для и

,

.

Первое уравнение умножаем на , второе – на, и взаимно вычитаем результаты. Первые два слагаемые дают

.

Из уравнений получаем

.

Слагаемые интегрируем по интервалу . Первое слагаемое, вычисленное по формуле

,

дает нуль. Находим

.

При ,второе слагаемое зануляется, и получаем (6.123)

, .

При ,первое слагаемое зануляется, и получаем (6.124)

, .

3. Методом факторизации получена нормировка полиномов Лежандра (6.112)

.

Докажем равенство, используя (6.96)

.

Находим

.

Интегрируем по частям

полагая

, .

Свободное слагаемое дает нуль на обоих пределах . Послеn-кратного интегрирования по частям

, ,

находим

,

где учтено

.

Используем (П.3.9)

,

и получаем нормировку полиномов Лежандра (6.112).

4. Методом факторизации получена нормировка присоединенных функций Лежандра (6.123)

.

Докажем равенство, используя формы Родрига (6.117) и (6.119):

,

.

Подстановка дает

.

Интегрируем по частям, полагая

, ,

свободное слагаемое равно нулю . Повторяя интегрированиераз, получаем

.

Интеграл вычислен в предыдущем примере

,

в результате

.

Полиномы Чебышева первого рода

Полиномы исследовал Чебышев (нем. Tschebyschew) в 1854 г.

, ;– порядок полинома.

Полиномы имеют наименьшее отклонение от нуля на интервале и максимальное отклонение за пределами этого интервала по сравнению с другими полиномами того же порядка.

Используются для интерполирования и аппроксимации функций. Интерполирование – построение функции, проходящей через заданные точки. Аппроксимация – замена сложной функции более простой функцией, совпадающей с исходной в ряде точек.

Пафнутий Львович Чебышев

(1821–1894)