Классические ортогональные полиномы

Полином (многочлен) порядка

.

Условие ортогональности

Множество образует базис в гильбертовом пространстве, если выполняется условие ортонормированности

,

где

–орт;

–скалярное произведение функций;

–весовая функция;

–символ Кронекера.

Классические ортогональные полиномы являются частными решениями дифференциальных уравнений гипергеометрического типа и обобщенного гипергеометрического типа – полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра.

Полиномы Эрмита

, ,

–порядок полинома

Применяются в оптике, в математической статистике, в теории вероятностей, в квантовой механике.

Полиномы исследовали Чебышев в 1859 г. и Эрмит в 1864 г., они называются также полиномами Чебышева–Эрмита.

Пафнутий Львович Шарль Эрмит

Чебышев (1821–1894) (1822–1901)

Уравнение Эрмита

. (6.1)

Формула Родрига

Методом факторизации получено решение (П.3.3)

, (6.2)

и весовая функция (П.3.1)

.

Из (6.2) следует свойство четности

. (6.3)

Полиномы низших степеней

Получим явный вид для низших порядков и убедимся, что эта функция является полиномом. С учетом

,

,

, …

из (6.2) находим

, ,

, ,

, .

Полиномы четных (нечетных) порядков содержат четные (нечетные) степени x.

Полиномиальная форма

Обобщением частных результатов является

, (6.4)

где – целая часть. В частности, дляполучаем

.

Интегральная форма

(6.8)

применима как для целых положительных m, так и для дробных и для отрицательных m.

Доказательство (6.8)

В формулу Родрига (6.2) входит . Получим эту форму, применяя к функции Гауссатеорему Фурье о дифференцировании:

Учитываем (П.2.6)

получаем

.

Замена под интегралом дает

.

Подставляем в (6.2)

,

находим

. (6.8)

Учтено, что комплексное сопряжение не меняет вещественный полином.

Производящая функция

Методом факторизации получена производящая функция (П.3.5)

. (6.10)

Из определения производящей функции (5.14)

,

для ,находим ее связь с полиномами Эрмита

. (6.11)

Вывод полиномиальной формы

Из (6.10) и (6.11) после замены получаем

. (6.11а)

В ряд Маклорена

разлагаем

, ,

находим

.

Заменяем ,, где, тогда,

.

Сравниваем с (6.11а) и получаем полиномиальную форму

. (6.4)

С учетом

из (6.4) находим

. (6.11б)

Рекуррентные соотношения для полиномов

Алгоритм получения:

1. Дифференцируем выражение производящей функции (6.10) по одному из аргументов.

2. В полученное соотношение подставляем определение производящей функции (6.11).

3. Приравниваем слагаемые с одинаковыми степенями t.

Соотношение 1

Дифференцируем (6.10)

по x и получаем

.

Подставляем (6.11)

,

находим

.

Приравниваем слагаемые с

,

получаем

, (6.12)

. (6.13)

Следовательно, – оператор понижения порядка полинома.

Соотношение 2

Дифференцируем (6.10)

по t и получаем

.

Подставляем (6.11)

,

находим

.

Приравниваем слагаемые с

,

получаем

. (6.15)

Учет (6.12)

дает

. (6.16)

Следовательно, – оператор повышения порядка полинома.

Условие ортонормированности

Множество полиномов Эрмита образует базис в гильбертовом пространстве функций, определенных при ,с условием ортонормированности (П.3.4), полученным методом факторизации:

. (6.18)

Доказательство (6.18)

Подставляем в интеграл формулу Родрига

,

получаем

.

Интегрируем по частям m раз, свободные слагаемые зануляются на обоих пределах за счет , остается

.

При находим

где использовано (6.11б) и интеграл Пуассона.

При выполняется

, .

Результат метода факторизации подтвержден.