Пример 4
В квантовой статистической теории газа фермионов – частиц с полуцелым спином (электроны, дырки, атомы и др.), требуется вычислить интеграл
,
.
Выполняется
.
(П.2.19)
Из (П.2.19) получаем
,
,
.
Доказательство (П.2.19)
.
Замена
дает
.
Используем
,
получаем
.
Функцию
разлагаем в ряд Маклорена
,
при
находим
.
Подстановка в интеграл дает
.
Используем (4.8)
при
,
,
и получаем
.
В результате
.
Сумма выражается через дзета-функцию (см. пример в учебнике)
,
(П.2.21)
тогда получаем (П.2.19)
.
При
в интеграле
заменяем
,
,
,
,
,
,
и находим
,
где использовано
,
в результате
.
(П.2.20)