Дельта-функция

Определение. Дельта-функция

,

моделирует точечное возмущение и определяется в виде

(2.1)

Функция равна нулю во всех точках, кроме , где ее аргумент равен нулю, и где функция бесконечная, как показано на рис. 1,а. Задание значениями в точках аргумента неоднозначно из-за ее обращения в бесконечность, поэтому дельта-функция является обобщенной функцией, и требует доопределения в виде нормировки.

а б

Рис.1. Дельта-функция

Условие нормировки

, . (2.2)

Площадь под графиком функции равна единице в любом интервале, содержащем точку a, как показано на рис 1,б. Поэтому дельта-функция моделирует точечное возмущение единичной величины.

Четность функции следует из (2.1)

,

. (2.2а)

Из симметрии относительно точкиполучаем

, (2.2б)

как следует из рис 1,б.

Ортонормированность. Множество функций

, ,

образует ортонормированный бесконечномерный базис.

Дельта-функцию применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в электромагнитной теории – Хевисайд в 90-х годах XIX в.

Густав Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд (1850–1925)

Оливер Хевисайд – ученый самоучка, впервые использовал в физике векторы, разработал векторный анализ, ввел понятие оператора и разработал операционное исчисление – операторный метод решения дифференциальных уравнений. Ввел функцию включения, названную позже его именем, использовал точечную импульсную функцию – дельта-функцию. Применил комплексные числа в теории электрических цепей. Впервые записал уравнения Максвелла в виде 4-х равенств вместо 20 уравнений, как было у Максвелла. Ввел термины: проводимость, импеданс, индуктивность, электрет. Разработал теорию телеграфной связи на большие расстояния, предсказал наличие у Земли ионосферы – слой Кеннелли–Хевисайда.

Математическую теорию обобщенных функций разработал Сергей Львович Соболев в 1936 г. Он был одним из основателей Новосибирского Академгородка. Его именем назван Институт математики СО РАН, основателем и директором которого он был с 1957 г. по 1983 г.

Сергей Львович Соболев (1908–1989)

Свойства дельта-функции Фильтрующее свойство

Для гладкой функции , не имеющей разрывов, из (2.1)

получаем фильтрующее свойство дельта-функции в дифференциальной форме, затрагивающее одну точку :

. (2.3)

Полагаем , и используем для дельта-функции предел при, показанный на рис. 1,б. Находим

,

. (2.4)

Интегрируем (2.3) по интервалу , включающем точку a, учитываем нормировку (2.2) и получаем фильтрующее свойство дельта-функции в интегральной форме

, . (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем

, ,

и получаем условие ортонормированности базиса с непрерывным спектром значений

. (2.7)