Инверсия порядка

Из интегрального представления Зоммерфельда (8.19)

.

Для цилиндрической функции получаем

. (8.22)

Инверсия аргумента

Из интегрального представления Пуассона (8.5)

получаем

. (8.23)

Из (8.22) и (8.23) для цилиндрической функции следует

. (8.25)

Производящая функция

Интегральное представление Зоммерфельда (8.16)

,

является выражением коэффициента Фурье

,

для волны

.

Обратное преобразование является разложением волны в ряд Фурье (1.48) по угловой переменной

.

Для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x, получаем

(8.26)

В (8.26) заменяем

,

,

,

и находим производящую функцию для цилиндрических функций

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

1. В (8.26)

разделяем вещественную и мнимую части

,

.

Учитываем (8.22)

,

и преобразуем слагаемые с

, (8.28)

. (8.29)

Из (8.28) при получаем

. (8.30)

2. В (8.26)

заменяем

, (8.30а)

где учтено

.

Преобразуем слагаемые с , используя

,

,

тогда

.

Из (8.30а)

,

где

,

получаем

. (8.31)

В (8.31) разделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

,

.

При из (8.32) и (8.33) получаем разложение синуса и косинуса по функциям Бесселя

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

подставляем (8.27)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем n на случай произвольного порядка

. (8.36)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

подставляем (8.27)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и (8.36)

,

находим

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на

,

используем

.

Получаем

, (8.40)

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции получаем

, (8.41)

6. Умножаем (8.39)

на

.

Используем

,

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции получаем

, (8.43)

Частные рекуррентные соотношения

При из (8.39)

,

или из (8.36)

с учетом (8.22)

находим

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44)

,

,

,

,

,

при получаем соотношения междуи:

,

, (8.45)

и между ,и:

,

,

,

,

. (8.46)

Условие ортонормированности

Множество функций

, ,,

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство

Функции, входящие в (8.48):

, ,

являются решениями уравнения Ломмеля (8.3)

с параметрами

, ,

, .

Уравнение Ломмеля (8.2)

для иполучает вид

,

.

Умножаем первое уравнение на xv, второе – на xu

,

.

вычитаем результаты

.

Левую сторону упрощаем

.

Интегрируем слагаемые по x от 0 до ∞

.

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

,

,

тогда

=,

,

.

Использовано

,

,

и учтено, что приосциллирует с бесконечно высокой частотой около нуля. В результате

.

Учитываем свойство дельта-функции (2.4)

,

,

тогда

,

Для нахождения интегрируем равенство пор от 0 до ∞

,

меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки (8.14)

.

Получаем

, ,

следовательно

.

В результате доказано

, . (8.48)

Рассмотрим случай . С учетом (8.8)

не нулевой вклад в (8.48) дает только . Выполняется

, . (8.49)

Этот результат не следует из (8.48).

Доказательство (8.49)

Умножаем (8.49) на , где, и интегрируем поk от 0 до ∞

.

Справа учитываем

.

Слева меняем порядок интегрирований и находим

.

Внутренний интеграл согласно (8.48) равен

.

С учетом получаем тождество, что доказывает (8.49).