ФункциЯ Бесселя первого рода

, ,

1. Описывает радиальную зависимость в полярных и сферических координатах в задачах колебаний, волн, теплопроводности, диффузии, теории потенциала.

2. Множество с одинаковым индексом μ образует ортонормированный базис с непрерывным спектром.

3. При целочисленном функция Бесселяназываетсяцилиндрической функцией.

исследовал Даниил Бернулли в 1732 г.

ввел Леонард Эйлер в 1764 г.

4. Цилиндрическая функция является Фурье-образом трехмерной гармонической волны по угловой переменной в цилиндрических координатах.

Бессель составил таблицы J₀, J₁, J₂ для описания движения планет в 1824 г. Название функции в честь Бесселя дал Оскар Шлемильх в 1857 г.

Даниил Бернулли Леонард Эйлер Фридрих Вильгельм

(1700–1782) (1707–1783) Бессель

(1784–1846)

Бессель не учился в гимназии и в университете. Он самостоятельно изучил математику и астрономию, был профессором Кенигсбергского университета. Исследовал комету Галлея, основал обсерваторию в Кёнигсберге, измерил расстояния до звезд методом параллакса, провел геодезическую съемку Восточной Пруссии. Его именем назван кратер на Луне.

Уравнения Бесселя и Ломмеля

Функция Бесселя является частным решением уравнения Бесселя

. (8.1)

Для расширения области применения уравнения усложняем его путем замены аргумента и функции

,

(8.2)

с использованием параметров . Функция удовлетворяет уравнению Ломмеля

. (8.3)

При ,уравнение (8.3) переходит в (8.1). Подстановка (8.2) в (8.3) преобразует (8.3) в (8.1) с аргументомz.

В уравнения (8.1) и (8.3) параметр μ входит во второй степени, поэтому общее решение (8.3) содержит слагаемые с обоими знаками μ

. (8.4)

Уравнение (8.3) получил немецкий физик Ломмель в 1868 г.

Евгений Корнелиус Йозеф фон Ломмель (1837–1899)

Интегральное представление Пуассона

Уравнение (8.1)

относится к обобщенному гипергеометрическому типу. Его решение методом факторизации (см. Пример 3.9 в учебнике), после определения постоянного множителя условием

,

дает интегральное представление Пуассона

. (8.5)

Во втором равенстве использована формула Эйлера

,

и учтена четность функций косинуса и синуса.

Замена в (8.5) аргумента интегрирования

,

дает

. (8.6)

Из (8.6) при получаем

, (8.7)

.

Выполняется локальная нормировка

,

,

. (8.8)

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Пуассон – математик, механик, физик, профессор Парижского университета. Ввел понятие потенциала в электростатике и получил «дифференциальное уравнение Пуассона», связывающее потенциал системы зарядов с их распределением в пространстве. Для случайной величины доказал «распределение Пуассона». Установил связь между продольной и поперечной деформациями тела – «коэффициент Пуассона». Вычислил «интеграл Пуассона», доказал «формулу суммирования Пуассона». В механике ввел «скобку Пуассона» – перестановочное соотношение двух операторов. Наполеон возвел его в бароны, Луи-Филипп сделал пэром Франции. Цитата Пуассона – «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием».