Свертка функций

Операция свертки двух функций является интегральным преобразованием и обозначается звездочкой, которая ставится между функциями:

. (1.22)

Равенства в (1.22) получены заменами аргумента в виде

с параметрами

, ;

, ;

, .

При замене использовано

.

Особенность форм в (1.22) – сумма аргументов у двух функций под интегралом равна x.

Свертка с постоянной

,

.

Физический смысл свертки. Рассмотрим преобразователь сигналов

f₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

Для линейного и стационарного преобразователя сигналов выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.

Этим принципам удовлетворяет свертка

,

где

–функция Грина – реакция преобразователя на импульсный входящий сигнал;

–функция включения;

–аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.

Теорема о свертке

Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов

. (1.24)

Доказательство

Используем (1.1) и (1.22)

.

Интегралы расцепляем заменой в первом интеграле аргумента в виде,. Учитываем

.

Получаем

.

Для обратного преобразования Фурье выполняется

. (1.25)

Доказательство

Аналогично предыдущему доказательству получаем

.

Под интегралом сделана замена .

Теорема о произведении

Фурье-образ произведения непрерывных функций равен свертке их фурье-образов

,

. (1.26)

Доказательство

Выполняем фурье-преобразование (1.25), получаем

и используем интегральную теорему (1.20)

.

Теорема о дифференцировании

При каждом дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на

. (1.35)

Доказательство

Формулу (1.2)

,

дифференцируем n раз

.

Сравниваем результат с (1.2)

для функции , получаем Фурье-образ.

Умножение функции на

Умножение функции на приводит к дифференцированию ее фурье-образа

,

. (1.37)

Доказательство

Дифференцируем (1.1)

,

получаем

.

Сравниваем результат с формулой (1.1),

,

записанной для функции , и получаем.

Преобразование периодическОЙ функциИ

Функция с периодом L удовлетворяет

.

Пример показан на рисунке.

Спектр периодической функции дискретный. Такая функция разлагается по ортонормированному базису гармонических функций с периодами , где В акустике составляющая с называетсяосновным тоном, составляющие с называютсяобертонами.

Базисы Фурье комплексных периодических функций

_{Условию периодичности}

,

с периодом удовлетворяют комплексные гармонические функции

_,

Доказательство

Выполняется

,

где учтено

,

,

Получаем базисы:

• , , с периодом.

Замена аргумента дает базисы:

• : ,, с периодомL,

• : ,, с периодом,

где множитель перед экспонентой обеспечивает нормировку функции.

Базисы Фурье вещественных периодических функций

Для функций с периодом

,

Для четных функций с периодом

,

Для нечетных функций с периодом

,

Ортонормированность базисов

Дискретный базис функций , где, с периодомL ортонормирован, если

.

Докажем ортонормированность:

1) Базис ,. Вычисляем

,

где использовано:

;

, при ;

.

2) ,

, (1.43)

где сделана замена

и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.

3) ,

, (1.44)

где сделана замена

.

4) Доказать самостоятельно:

,

,

. (1.45)

5. ,

,

. (1.46)