Свойства энтропии

Объем равен произведению ортогональных, т. е. независимых, координат. Фазовый объем системы, состоящей из независимых подсистем 1 и 2, равен произведению объемов, которые они занимают:

.

Из (2.13)

получаем аддитивность энтропии

(2.14а)

– энтропия системы равна сумме энтропий независимых подсистем.

Из (2.9а)

И (2.13) находим

.

Используем (2.14)

,

получаем

,

тогда

. (2.14б)

Свойства энтропии:

1. Согласно (2.13)

(2.14в)

– число микросостояний системы увеличивается экспоненциально с ростом энтропии.

2. Чем больше возможных микросостояний, реализующих макросостояние, тем меньше информации о системе. Увеличение энтропии означает уменьшение информации о системе и увеличение хаотичности системы. Чем более упорядочена система, тем меньше ее энтропия. Для контроля и управления системой необходимо снижать ее энтропию.

3. Согласно (2.14б) чем ниже температура, тем быстрее уменьшается энтропия с понижением энергии системы. Для лучшей контролируемости системы (уменьшения S) нужно снижать температуру системы и использовать переходы с малой энергией. Согласно теореме Нернста, или третьему началу термодинамики, при у любой системыи для системы доступно лишь одно микросостояние.

4. Для замкнутого обратимого процесса выполняется равенство Клаузиуса

,

или второе начало термодинамики. Следовательно, энтропия есть функция состояния, и является термодинамическим потенциалом.

Пример 1

Атом массой m с энергией  находится в изолированном объеме V, где все точки и направления равноправны. Найти энергетическую плотность состояний. Получить статистический смысл температуры. Найти энтропию и давление, создаваемые фазовым ансамблем. Рассмотреть задачу для N атомов идеального газа.

Гамильтониан атома . Система изолирована, тогда,

.

Фазовый ансамбль находится в импульсном пространстве на трехмерной сфере радиусом

.

Микросостояния отличаются направлениями вектора импульса. Число микросостояний внутри гиперповерхность согласно (2.2б) равно

.

При ,получаем

.

Используем

,

находим число микросостояний

. (П.2.4)

Одночастичная энергетическая плотность состояний (2.9а)

равна

. (П.2.5)

Плотность состояний классической частицы пропорциональна объему, доступному для частицы, и корню квадратному из энергии.

Из (2.14)

и (П.2.4), (П.2.5) находим тепловую энергию

, (П.2.6)

где характеристика фазового ансамбля ε – средняя энергия частицы. В результате получаем статистический смысл температуры по шкале Кельвина

– температура пропорциональна средней энергии частицы. При нормальной температуре

.

Из (2.12), (П.2.5)

,

,

и (П.2.4б)

находим давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:

,

где учтено (П.2.6) . Получили уравнение идеального газа из одной частицы.

Энтропию находим из (2.13) и (П.2.4б)

,

получаем

,

где . Энтропия понижается при уменьшении объема сосуда и энергии частицы.

Частный случай – азот N₂

При

, ,

получаем

,

.

На интервале энергии находятсяуровней, следовательно,классический газ имеет квазинепрерывный спектр.

Для N одинаковых частиц идеального газа полная энергия складывается из энергий отдельных частиц , где– проекция импульса одной из частиц на декартову ось. Получаем уравнение сферы в 3N-мерном импульсном пространстве радиусом . Объема шара вычисляем по формуле(П.2.1)

, .

Получаем

,

,

тогда

,

.

В результате

– температура пропорциональна средней энергии частицы.

Давление

.

Получено уравнение идеального газа .