Нормировочная постоянная распределения
В выражение (2.8)
подставляем (2.9)
,
получаем
.
Фильтрующее свойство дельта-функции снимает интеграл и дает
.
(2.10)
Нормировочная постоянная микроканонического распределения равна энергетической плотности спектра состояний.
Микроканоническое распределение
Из (2.7)
и (2.10) получаем плотность вероятности обнаружения микросостояний системы в фазовом пространстве
.
(2.10а)
Выразим
термодинамические характеристики
макросостояния – внутреннюю энергию
U,
давление P
и энтропию S
через характеристики микросостояний
– гамильтониан H,
занимаемый объем фазового пространства
и энергетическую плотность состояний
.
Внутренняя энергия U
Полная энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий всех частиц системы и является гамильтонианом системы H. В общем случае эта энергия не одинакова для разных микросостояний. Внутренняя энергия является полной энергией системы, усредненной по фазовому ансамблю
.
Вариация числа микросостояний при изменении объема
Уравнение микросостояний изолированной системы
описывает
в фазовом пространстве гиперповерхность
,
на которой находятся микросостояния с
фиксированными значениямиE,
V,
N.
Интегрируем (2.9)
,
и
находим число микросостояний
внутри гиперповерхности
.
(2.10б)
Из (2.8) и (2.10)
,
,
получаем плотность состояний
,
и подставляем в (2.10б)
.
Переставляем
порядок интегрирований, получаем число
микросостояний внутри гиперповерхности
.
Варьируем
по объему при постоянной энергии. От
объема зависит гамильтониан, тогда
,
.
В
аргумент дельта-функции H
и
входят симметрично, заменяем
,
получаем
.
При вычислении внутреннего интеграла учтено
,
на
нижнем пределе 
,
поскольку
.
Используем (2.10а) в виде
,
тогда
.
Используем
определение среднего для распределения
.
Получаем изменение числа микросостояний с постоянной энергией при увеличении объема газа на единицу
.
(2.11)
Давление Р
Давление равно средней силе, действующей со стороны газа на единицу площади стенки сосуда. Давление выражаем через внутреннюю энергию изолированной системы с помощью первого начала термодинамики.
Первое
начало термодинамики
связывает количества тепла 
,
переданное
газу, с изменением его внутренней энергии
и совершенной им работой
.
Из закона сохранения энергии получаем
,
где
.
Для изолированной системы
,
,
тогда
.
Используем (2.11)
,
и выражаем давление через статистические характеристики микросостояний
.
(2.12)
Энтропия S
Энтропия – от греч. εντρέπω – «обращать» – мера необратимости рассеяния энергии. Для равновесного обратимого изотермического процесса увеличение энтропии системы пропорционально количеству полученного тепла
,
,
где Т – температура по шкале Кельвина. Понятие энтропии ввел Клаузиус в 1865 г.
Рудольф Клаузиус (1822–1888)
Число
микросостояний
как функция параметровE
и V
является потенциальной функцией, тогда
полный дифференциал
,
,
(2.12а)
где
и использовано(2.9а)
и (2.12)
,
.
Первое начало термодинамики для равновесного процесса
с учетом
,
,
дает
.
Тогда из (2.12а) получаем
.
Сравниваем бесконечно малые сомножители
,
(2.12б)
и конечные сомножители
,
(2.12в)
где k – постоянная. При рассмотрении конкретных систем и сравнении результатов с формулами термодинамики будет показано, что k – постоянная Больцмана.
Интегрируем (2.12б) и получаем
.
(2.13)
Выбрана
нулевая постоянная интегрирования,
тогда одно микросостояние
соответствует нулевой энтропии в
соответствии с
третьим началом термодинамики.
Из (2.13) получаем статистический смысл
энтропии – энтропия
системы пропорциональна логарифму
числа ее микросостояний.
Из (2.12в) находим
,
(2.14)
где kT – тепловая энергия. В результате число микросостояний равно произведению энергетической плотности состояний на тепловую энергию. Следовательно, микросостояния создаются за счет тепловой энергии.