Микроканоническое распределение Основные понятия и определения

Объект – изолированный равновесный идеальный газ из N частиц в объеме V с полной энергией E.

Изолированная система – через границу системы не переходят частицы и энергия.

Равновесная система стационарна, ее макрохарактеристики не зависят от времени.

Идеальный газ – частицы независимы друг от друга, имеют малые размеры, не взаимодействуют на расстоянии.

Для любых состояний микроканонического распределения выполняется

.

Распределение микросостояний по фазовому пространству

Система изолирована и выполняется закон сохранения энергии

.

Фазовый ансамбль находится в фазовом пространстве на гиперповерхности постоянной энергии, все ее точки равноправны. Вне гиперповерхности микросостояния отсутствуют. Вероятность обнаружения системы в единице объема фазового пространства около точки X, или функция микроканонического распределения является дельта-функцией

. (2.7)

Условие нормировки (2.4)

,

где , дает нормировочнуюпостоянную

. (2.8)

Функция выражается через энергетическую плотность состояний.

Энергетическая плотность спектра состояний

Набор возможных значений энергии системы называется энергетическим спектром. Газ в ограниченном объеме имеет дискретный спектр, зависящий от объема и от соотношения между энергией и импульсом частицы. На рисунке показан пример энергетического спектра. Уровень энергии в виде горизонтальной линии соответствует микросостоянию газа. При макроскопическом объеме газа расстояние между уровнями мало и спектр квазинепрерывен. Вероятность реализации микросостояния и уровня энергии определяется функцией распределения по состояниям. Энергетический спектр микросостояний выразим через распределение микросостояний в фазовом пространстве.

Микросостояния с энергией находятся в фазовом пространстве назамкнутой гиперповерхности. Число микросостояний внутри гиперповерхности равно безразмерному объему фазового пространства

. (2.8а)

При увеличении энергии на гиперповерхность сдвигается, объем фазового пространства внутри нее возрастает, число микросостояний увеличивается на

. (2.9)

Энергетическая плотность спектра состояний системы равна увеличению фазового объема при возрастании энергии на единицу

. (2.9а)

На рисунке спектра есть число микросостояний в единичном интервале энергии около значения E. Приведенные соотношения применимы также к одной частице идеального газа, когда остальные рассматриваются как термостат. Значок Δ, использованный в (2.8а), (2.9) и (2.9а), может далее упускаться для упрощения записей.

Пример

Найдем энергетическую плотность состояний гармонического осциллятора. Используем (П.2.4)

,

из (2.9а) при получаемодночастичную плотность спектра состояний

.

Энергетическая плотность состояний обратно пропорциональна частоте, не зависит от объема и энергии. Результат согласуется со спектром осциллятора (П.2.4а)

,

где – интервал эквидистантного спектра. Число уровней в единичном интервале энергии равно.