Следствия теоремы

А. Согласно теореме сохраняется число микросостояний w в единице объема при их перемещении по фазовому пространству. Каждое микросостояние описывает реальный объект, и число микросостояний не меняется. Тогда фазовый объем элемента ансамбля не изменяется с течением времени

,

изменяется лишь форма объема. Аналогично ведет себя несжимаемая жидкость. Учитываем

,

где J – якобиан преобразования между начальными и текущимиX координатами, и получаем

= 1. (2.6)

Модуль якобиана, связывающего начальные и текущие фазовые координаты, равен единице. Результат используется при проверке выполнения теоремы Лиувилля для рассматриваемой системы.

Для одномерного движения частицы в плоскость получаем

. (2.6а)

Б. Для стационарной системы функция распределения не изменяется с течением времени, и согласно теореме Лиувилля может зависеть только от интегралов движения. Если система как целое неподвижна и не вращается, то функция распределения зависит от полной энергии, т. е. от гамильтониана:

. (2.6б)

В. Для равновесной изолированной системы

.

Система с равной вероятностью обнаруживается в любом из доступных микросостояний.

Г. Теорема не выполняется для диссипативных систем, т. е. при наличии трения и неупругих соударений. Диссипативная сила, действующая на тело со стороны среды, направлена против скорости движения тела относительно среды. Уравнения Гамильтона в виде (2.1) в этом случае не применимы.

Пример

Идеальный газ состоит из двухатомных молекул, между атомами каждой молекулы имеется упругая связь. Молекулы независимы друг от друга. Поступательное, вращательное и колебательное движения молекулы происходят независимо, и между ними нет обмена энергией. Для колебательного движения найдем фазовую траекторию микросостояния и проверим выполнение теоремы Лиувилля.

1. Линейное колебание молекулы происходит с частотой ω и энергией E. В фазовом пространстве (x,p) микросостояние движется по гиперповерхности. Гамильтониан осциллятора приравниваем его полной энергии

где

; ;

κ – коэффициент жесткости пружины.

2. Получаем уравнение фазовой траектории микросостояния

.

Сравниваем с уравнением эллипса

,

находим полуоси

, .

Микросостояния отличаются друг от друга начальной фазой.

3. Находим число микросостояний, используя (2.2а):

.

При и интеграл равен площади эллипса

,

тогда число микросостояний

, (П.2.4)

где . Следовательно, энергия осциллятора квантуется

, (П.2.4а)

где –квант энергии; – число микросостояний равно числу квантов энергии осциллятора.

На рисунке показан спектр энергии гармонического осциллятора. Горизонтальная линия – уровень энергии показывает возможное состояние осциллятора. Величина равна энергии одного кванта, или интервалуэквидистантного спектра. На уровне осциллятор имеетn квантов энергии.

4. Для получения якобиана

найдем функции

, ,

где – начальная координата и начальный импульс при.

Используем уравнения Гамильтона (2.1)

, .

Подставляем гамильтониан

,

получаем

–связь скорости с импульсом,

–2-й закон Ньютона ,

где – коэффициент жесткости упругой силыF;

.

Для решения системы двух уравнений дифференцируем первое уравнение

,

подставляем второе и получаем уравнение гармонических колебаний

.

Общее решение

,

тогда

.

Для нахождения свободных параметров A и B накладываем начальные условия. При определяем

,

,

получаем

, .

В результате закон изменения координат микросостояния с течением времени

,

.

Микросостояние перемещается по эллипсу по часовой стрелке с круговой частотой ω.

5. Вычисляем якобиан

.

Теорема Лиувилля выполняется.