, . (2.5)

Аналогично течет несжимаемая жидкость, сохраняя свою плотность. Теорему доказал французский математик Лиувилль в 1838 г. Теорема используется для получения функции распределения состояний по фазовому пространству.

Жозеф Лиувилль (1809–1882)

Доказательство теоремы

Рассмотрим бесконечно малый объем фазового пространства в форме цилиндра с осью вдоль одной из обобщенных координат . Основания цилиндраперпендикулярны оси, длина образующей.

Микросостояния с плотностью входят в объем и выходят из него.

Для нахождения числа вошедших за 1с микросостояний представим микросостояние в виде точки на рисунке. Число точек в единице объема равно w. Если все точки двигаются со скоростью , то за 1с через сечение пройдут состояния, которые первоначально заполняли цилиндр с образующей, равной скорости. Умножаем объем цилиндра на плотность состояний, получаем число вошедших состояний

.

От точки к точке оси меняется плотность микросостоянийи их скорость, тогда число состояний, выходящих через сечениеравно

,

где использовано

.

Если с течением времени плотность изменяется, тогда в объеме появляются и исчезают состояния. За 1с в объемепоявляется число состояний

.

Каждое состояние описывает реальную систему, поэтому число состояний сохраняется и выполняется уравнение баланса

«число появившихся состояний» =

= «число вошедших состояний» – «число вышедших состояний»:

.

Сокращаем подобные и получаем

.

Результат обобщаем на случай изменения всех координат фазового пространства

.

Раскрываем круглые скобки

.

Последняя скобка равна нулю согласно уравнениям Гамильтона (2.1)

, ,

тогда получаем уравнение Лиувилля

(2.5а)

Используем выражение для полной производной

,

получаем теорему Лиувилля

(2.5б)

– полная производная по времени от плотности микросостояний равна нулю. Следовательно, плотность микросостояний фазового ансамбля не изменяется при его движении.

Пример

Для одномерного движения свободной частицы записать уравнение Лиувилля и найти его решение. Сравнить результат с решением уравнений Гамильтона.

Уравнение Лиувилля (2.5а) для одномерной частицы имеет вид

. (П.2.2)

Для получения итребуется задание гамильтониана.

Гамильтониан свободной частицы

дает уравнения Гамильтона

, .

Определяем начальные условия ,. Решаем уравнения и получаем известные формулы равномерного движения

, ,. (П.2.3)

С учетом (П.2.3) уравнение Лиувилля (П.2.2) для плотности вероятности получает вид

.

Уравнению удовлетворяет решение

,

где – распределение плотности вероятности обнаружения частицы в начальный момент времени.

Плотность вероятности обнаружения координаты и импульса частицы определяет траекторию и закон движения частицы в фазовом пространстве, как и уравнения Гамильтона. Если придля частицы заданы не начальные условия, а их распределение в фазовом пространстве, то динамика частицы описывается не уравнениями Гамильтона, а эволюционным уравнением Лиувилля (2.5а).