Примеры

1. Нерелятивистская свободная частица трехмерного газа при температуре T, движущаяся поступательно вдоль оси , имеет

, .

Сравниваем с (2.38) в виде

,

находим

, .

Из (2.39)

получаем

. (2.40)

Для классического равновесного газа на каждую поступательную степень свободы частицы приходится тепловая кинетическая энергия .

2. Линейный гармонический осциллятор. Гамильтониан

, ,

сравниваем с (2.38)

,

получаем

, .

Из (2.39)

, ,

находим

,

,

.

На линейное гармоническое колебание приходится тепловая энергия kT, которая складывается из кинетической и потенциальной энергий.

Неустранимая погрешность измерительного прибота

Макрохарактеристика равновесной системы постоянна только в среднем. Ее флуктуация вызвана хаотическими тепловыми движениями микрочастиц.

Измерительное устройство является равновесной системой и испытывает тепловые колебания. Невозможно измерить физическую величину с точностью, меньшей средней амплитуды хаотических колебаний указателя прибора. Оценим неустранимую погрешность весов, работающих на основе упругой силы, используя теорему о распределении энергии по степеням свободы.

Весы на основе упругой силы

Тело неизвестной массы подвешено на пружине с коэффициентом жесткости κ в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g. Если тело неподвижно и не ускоряется, то упругая сила , вызванная растяжением пружины на расстояниеx, и сила тяжести уравновешены

.

Измерив растяжение пружины x, получим гравитационную массу тела m.

Хаотические тепловые движения молекул пружины и окружающего воздуха приводят к микроколебаниям указателя весов с амплитудой и создают погрешность измерения массы. Используя

,

находим абсолютную погрешность измерения массы

,

где чувствительность весов

.

Чем меньше коэффициент жесткости, тем выше чувствительность весов, и тем сильнее реагирует система на возмущение. Величина является флуктуацией

.

Найдем , используя теорему о распределении энергии по степеням свободы.

Весы – одномерная система с потенциальной энергией пружины

, .

Сравнение с (2.38)

,

дает

, .

Из (2.39)

получаем среднюю потенциальную энергию, связанную с одномерным тепловым хаотическим движением весов:

.

Находим

и получаем флуктуацию указателя весов

,

и неустранимую погрешностью измерения массы

.

Для уменьшения погрешности необходимо уменьшать температуру и увеличивать чувствительность весов. Это требует уменьшения коэффициента жесткости, который определяет частоту колебаний системы:

.

Используем и находимотносительную погрешность измерения

.

При  = 10 Гц, Т = 290 К, m = 10^–3 г, получаем m / m  10^–5.

Флуктуации напряжения в колебательном контуре

LCR– колебательный контур;У– усилитель

Устройство для приема и измерения переменного во времени радиосигнала показано на рисунке. Колебательный контур LRC принимает сигнал, в контуре возникают колебания. Напряжение конденсатора С поступает на усилитель У и далее на регистратор в виде осциллографа. Усилитель имеет обратную связь и пропускает колебания с напряжением, превышающим некоторое пороговое значение. Оно является минимальным сигналом, который регистрирует устройство. Для устранения зашумленности исследуемого сигнала пороговое значение усилителя должно превышать величину флуктуаций напряжения в контуре. Флуктуации возникают за счет тепловых движений зарядов в резисторе. Найдем их величину.

Хаотическое движение электронов в резисторе R создает кратковременный ток, конденсатор заряжается, в контуре возникают колебания. Из определения электроемкости

получаем связь между среднеквадратичными значениями заряда и напряжения

.

Конденсатор рассматриваем как одномерную систему с энергией

, ,

где заряд Q аналогичен импульсу. Сравниваем с (2.38)

,

находим

, .

Из (2.39)

получаем среднюю тепловую энергию колебательного контура

.

Находим

,

и флуктуацию напряжения

.

Чем выше температура и меньше электроемкость колебательного контура, тем больше флуктуация напряжения на конденсаторе.

Параметры колебательного контура выражаем через ширину частотной полосы пропускания сигнала и реактивное сопротивление X контура

,

.

Мощность, передаваемая от контура к усилителю, достигает максимума при согласованной нагрузке, когда входное сопротивление потребителя, то есть усилителя , равняется сопротивлению источника X

.

Получаем

,

тогда

и флуктуация напряжения

. (П.4.1)

Для приемника с полосой пропускания  = 10 кГц, с входным сопротивлением R_у = 10 кОм и температурой Т = 290 К получаем флуктуацию напряжения на входе усилителя U = 1,6 мкВ, что ограничивает предельную чувствительность приемника.

Рассмотрим детальнее механизм возникновения флуктуаций.