Распределение тепловой энергии по степеням свободы

Если степени свободы частицы входят в гамильтониан симметрично, то на каждую степень свободы приходится одинаковая тепловая энергия, пропорциональная температуре. Теорему предложил Дж. Уотерстон в 1845 г., количественное выражение дали Максвелл в 1860 г. и Больцман в 1868 г. Для квантовых систем теорема не применима.

Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879)

Людвиг Больцман (1844–1906)

Гамильтониан частицы

Равновесный газ с фиксированными значениями обменивается энергией с термостатом. Микросостояния газа имеют разные энергии, энергия частицы меняется с течением времени. Макросостояние не зависит от времени, средняя энергия частицы газа постоянна и зависит от температуры. Найдем ее величину.

Рассмотрим гамильтониан частицы идеального газа с f степенями свободы и со степенными зависимостями от модулей проекций координат и импульсов

, (2.38)

где

–число активизированных степеней свободы с кинетической энергией; импульсы находятся в пределах ;

–число активизированных степеней свободы с потенциальной энергией; координаты находятся в пределах .

Получим средние по фазовому ансамблю значения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы при температуре Т.

Средняя энергия частицы

Энергия частицы складывается из кинетических и потенциальных составляющих вдоль ортогональных осей. Среднюю полную энергию получаем из (2.26)

. (2.38а)

Статистический интеграл частицы (2.19)

с гамильтонианом (2.38)

является произведением независимых интегралов по каждому аргументу

,

где

,

.

Используем

,

и вычисляем интегралы

,

.

С учетом

,

из (2.38а) находим

,

откуда

,

.

Учитывая

, ,

, ,

получаем

,

.

Величины ине зависят отi и j, следовательно, выполняется теорема о равном распределении тепловой энергии по активизированным степеням свободы. С учетом всех степеней свободы находим

,

.

В результате средние значения потенциальной, кинетической и полной энергий частицы пропорциональны температуре

, ,

. (2.39)

Частица в ограниченном объеме. Если газ занимает конечный объем и координата ограничена пределамии, тогда

.

В этом случае формула для потенциальной энергии не применима. Выражениедля кинетической энергии можно использовать, если.

Рассмотрим газ в сосуде размером A, где вдоль оси j действует однородное потенциальное поле, например, электрическое, или гравитационное:

,

тогда

, ,

,

,

.

Из

находим среднюю потенциальную энергию частицы при температуре Т

. (2.39а)

Тепловое движение разбрасывает частицы газа равномерно по всему объему. Этому противостоит внешнее поле, действующее с силой:

,

направленной при в сторону уменьшения координатыx.

Если силовое поле преобладает над тепловой энергией , тогда из (2.39а) получаем

. (2.39б)

Выполняется и частицы под действием силы приближаются к стенке сосуда при низкой температуре. Результат совпадает с (2.39) при.

С увеличением температуры тепловое движение растет и средняя координата увеличивается. При ,используем, и из (2.39а) находим

, (2.39в)

тогда . При высокой температуретепловое движение преобладает над силовым полем и разбрасывает частицы с равной вероятностью по всему объему сосуда, среднее положение частицы совпадает с серединой сосуда.