Пример 1
Идеальный газ из N атомов находится в объеме V при температуре Т. Найти статистический интеграл поступательного движения, внутреннюю энергию и давление газа.
1. Статистический интеграл атома
Используем
,
,
и гамильтониан поступательного движения атома
.
Подстановка дает
.
Учтено, что координаты и разные проекции импульса разделены. Использовано
.
Интеграл в квадратных скобках является интегралом Пуассона
,
и
равен
.
Получаемстатистический
интеграл поступательного движения
частицы
(2.22)
.
(П.3.1)
С учетом
находим статистический интеграл поступательного движения газа
.
Внутренняя энергия газа
Вычисляем (2.26)
.
Из
находим
.
При
используем формулу Стирлинга
,
тогда
.
С учетом (П.3.1)
,
получаем
,
,
тогда
,
.
(П.3.1а)
Из (2.26)
получаем
,
.
Результат совпадает с выражением, найденным из микроканонического распределения, а также с известной формулой термодинамики идеального газа. Это позволяет отождествить k с постоянной Больцмана.
3. Давление газа
Из (2.34) и (П.3.1а) находим
и
получаем уравнение
идеального газа
.
Пример 2
Атомы двухатомной молекулы совершают колебания с частотой ω. Найти статистический интеграл колебаний при температуре Т.
Молекулу считаем линейным гармоническим осциллятором с гамильтонианом
.
Подставляем в (2.17)
,
,
находим
.
Используем интеграл Пуассона
,
для интегралов получаем соответственно
,
.
В результате статистический интеграл колебательного движения молекулы из разных атомов (2.23)
.
(П.3.5)
Для одинаковых атомов с учетом их тождественности используем
,
и получаем
.
(П.3.5а)
Пример 3
Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2r и вращающихся вокруг центра масс. Найти статистический интеграл вращений при температуре Т.
При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.
При
вращении изменяются углы φ и θ, молекула
движется по окружностям с радиусами,
соответственно,
иr.
Линейные скорости выражаем через угловые
скорости и радиусы окружностей
–вдоль
,
–вдоль
.
Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа, связывающее импульс со скоростью:
.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)
Функция Лагранжа
зависит от координаты и скорости. При отсутствии потенциальной энергии функция Лагранжа равна кинетической энергией. Для двухатомной молекулы получаем
,
где
–момент
инерции
молекулы относительно прямой,
перпендикулярной к оси молекулы и
проходящей через центр масс.
Получаем обобщенные импульсы
,
.
Угловые скорости выражаем через импульсы
,
.
Результаты подставляем в
,
и находим гамильтониан
.
Статистический интеграл частицы (2.17)
,
где
,
получает вид
.
Интегрируем вначале по , затем по p, p и в конце по θ. С учетом
находим
,
.
Статистический интеграл вращательного движения молекулы (2.23)
.
(П.3.6)