Энергетическая плотность спектра состояний. Распределение микросостояний по энергии

Газ с обменивается энергией с окружающей средой, энергия флуктуирует, микросостояния имеют разные энергии.

Микросостояния с энергией Е находятся в фазовом пространстве на гиперповерхности, точки которой удовлетворяют

.

Изменение энергии на dE вызывает переход к соседней гиперповерхности, объем внутри гиперповерхности меняется на dX. Из (2.9) находим

, (2.24)

где энергетическая плотность спектра микросостояний системы N частиц

не зависит от температуры. Заполняются участки спектра системой с разной вероятностью, зависящей от температуры и описываемой каноническим распределением.

В распределении микросостояний по фазовому пространству

заменяем гамильтониан системы на энергиюЕ, используем (2.24) и получаем вероятность обнаружения микросостояний газа с энергией в интервале при температуре T

. (2.24а)

Нормировка вероятности дает статистический интеграл газа

. (2.24б)

Выделяем в газе одну частицу ,и рассматриваем остальные как термостат. Из (2.24б) получаемстатистический интеграл частицы

, (2.24в)

где энергетическую плотность квазинепрерывного спектра состояний частицы

. (2.24г)

Для нахождения используем число состояний (2.8а) для частицы с энергией ε и с законом дисперсии

, (2.24д)

где – функция Хевисайда. Число состояний частицы с энергией ε в единичном объеме около точки

. (2.24е)

Число состояний частицы с энергией ε в единичном интервале импульсов около значения

. (2.24ж)

Выполняется

.

Учитывая , где– дельта-функция, из (2.24г) и (2.24д) получаем число состояний частицы в единичном интервале энергии около значения ε

. (2.24з)

Пример 1

Свободный нерелятивистский трехмерный газ атомов находится в объеме V, закон дисперсии частицы . Из (2.24д), (2.24г), (2.24е), (2.24ж) и (2.24в) получаем число состояний, плотности состояний с энергиейи статистический интеграл частицы

,

, ,

, ,

.

Следовательно, состояния с энергией ε распределены равномерно по объему, по направлениям импульса и по его модулю при . Распределение частиц по этим состояниям при температуреТ рассматривается в разделе «Распределение Максвелла–Больцмана».

Пример 2

Атомы двухатомной молекулы совершают одномерные колебания с частотой ω и законом дисперсии . Получаем

,

где закон дисперсии ограничивает область интегрирования для частицы с энергией ε эллипсом

, ,,

, .

Находим

,

.

При удалении от начала координат плотности состояний иуменьшаются, достигая нуля прии, когда кинетическая или потенциальная энергии сравниваются с полной энергий частицы.

Плотность спектра состояний не зависит от энергии, спектр эквидистантный с расстоянием между уровнями. Формула статистического интеграла (2.24в), полученная для квазинепрерывного спектра, здесь не применима.