Классическая статистическая физика Основные положения

Объект – идеальный газ независимых микрочастиц, подчиняющихся классической механике и описываемых уравнениями Гамильтона. Эти уравнения являются законами динамики, записанными через гамильтониан – полную энергию, выраженную через координаты и импульсы частиц. Выбор этих переменных вызван тем, что микрочастицы подчиняются законам квантовой физики. Неопределенности координат и импульсов связаны соотношением Гейзенберга, что существенно используется при статистическом описании даже в рамках классической физики. Используется также тождественность микрочастиц.

Задача – найти статистические распределения частиц газа по координатам, импульсам, энергии. Используется метод Гиббса, разработанный в 1902 г.

Джозайя Уиллард Гиббс (1839–1903)

Основные понятия – микросостояние системы, макросостояние системы, фазовое пространство, функция распределения по фазовому пространству.

Микросостояние системы – совокупность координат и импульсов всех частиц системы, зафиксированных в один момент времени. Отображается малой окрестностью точки X фазового пространства. С течением времени точка перемещается по пространству.

Функция распределения плотности вероятности – вероятность обнаружения системы в единице объема фазового пространства около точкиX.

Статистический интеграл Z – нормировочная постоянная функции распределения.

Макросостояние системы – состояние газа, описываемое термодинамическими величинами – температурой Т, давлением Р, внутренней энергией U, свободной энергией F и др. Одно макросостояние реализуется множеством разных микросостояний, образующих фазовый ансамбль. Термодинамическая величина, характеризующая макросостояние, получается усреднением по фазовому ансамблю с использованием функции распределения, и выражается через статистический интеграл Z.

Фазовое пространство системы частиц

Микросостояние системы отображается точкой фазового пространства

,

где и– обобщенные координата и импульс частицы системы;n – число степеней свободы системы, пропорциональное числу частиц. Число независимых координат фазового пространства равно 2n. Для каждой системы используется свое фазовое пространство.

Координата частицы газа и ее импульс с течением времени изменяются согласно уравнениям Гамильтона

, (2.1а)

. (2.1б)

Уильям Гамильтон (1805–1865)

Гамильтониан– полная энергия системы в виде суммы кинетических и потенциальных энергий всех частиц, выраженная через координаты и импульсы частиц:

.

Для нерелятивистской частицы массой кинетическая энергия

.

Для консервативной системы полная энергия сохраняется

,

и микросостояния находятся на гиперповерхности фазового пространства.

Уравнения Гамильтона для одномерного движения частицы. Используем гамильтониан

.

Из (2.1а) с учетом определения скоростиполучаем

.

Из (2.1б) находим

.

Первое уравнение связывает скорость с импульсом, второе уравнение выражает второй закон Ньютона. Уравнения Гамильтона являются унифицированной формой записи известных уравнений механики на основе гамильтониана.