Газ в центрифуге

Центрифуга – цилиндрический сосуд с газом радиусом R, длиной образующей H, вращающийся вокруг оси с угловой скоростью . В системе отсчета сосуда на частицу действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. В результате концентрация газа увеличивается с удалением от оси. Тепловое движение разбрасывает частицы по всему объему сосуда, конкурируя с центробежной силой. Центрифуга используется в атомной промышленности для разделения изотопов, переведенных в газообразную фазу. В химии, биологии, медицине она применяется для разделения жидких фракций веществ с разной плотностью.

Получим радиальное распределение концентрации частиц, пренебрегая силой тяжести.

В системе отсчета, связанной с вращающимся сосудом, действует центробежная сила

.

Сила выражается через потенциальную энергию

,

тогда

.

Подставляем центробежную силу и находим потенциальную энергию частицы массой m, находящейся на расстоянии r от оси:

.

Распределение Больцмана (2.55)

в цилиндрических координатах

,

получает вид

.

Интегрируем по z и φ, и получаем вероятность нахождения частицы в цилиндрическом слое радиусом r толщиной dr

(П.6.4)

Вероятность найти частицу газа в единице объема на расстоянии r от оси

,

где объем цилиндрического слоя

.

Находим концентрацию частиц

,

где N – число частиц в центрифуге. Учитывая (П.6.4), получаем

, (П.6.5)

где – концентрация на оси вращения;– концентрация на расстоянииr от оси. Конценетрация увеличивается при удалении от оси.

Нормировка на число частиц

с учетом (П.6.5)

после интегрирования дает

. (П.6.6)

Ориентационная поляризация диэлектрика

Поляризацией называется разделение связанных зарядов диэлектрика во внешнем электрическом поле. У диэлектрика нет свободных зарядов. Связанными являются разноименные заряды в составе молекулы. Если центры положительного и отрицательного зарядов молекулы совпадали при отсутствии поля, то включение поля раздвигает эти центры, молекула деформируется, возникает поляризация смещения диэлектрика. Если центры зарядов первоначально не совпадали, то молекула поляризована, включение поля поворачивает молекулу, возникает ориентационная поляризация диэлектрика. В обоих случаях поле создает дипольный момент диэлектрика, этому противодействует хаотическое тепловое движение. Степень поляризации характеризуется диэлектрической восприимчивостью – коэффициентом пропорциональности между электрическим полем и дипольным моментом единицы объема вещества, и поляризуемостью – коэффициентом пропорциональности между электрическим полем и средним дипольным моментом молекулы вещества. Рассмотрим ориентационную поляризацию диэлектрика, состоящего из молекул диполей.

Полярный диэлектрик состоит из поляризованных молекул (например, сульфид водорода ), имеющихэлектрический дипольный момент

,

где q – модуль заряда иона; l – расстояние между центрами ионами. Диполи разных молекул направлены хаотически. Внешнее электрическое поле поворачивает диполи и устанавливает их вдоль поля, возникает ориентационная поляризация. Тепловое движение разбрасывает направления диполей. Средняя проекция дипольного момента на направление поля определяет степень поляризации диэлектрика.

Рассмотрим однородное электрическое поле напряженностью E, направленное по оси z. Потенциал поля уменьшается с ростом z

.

Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны оси z и . Заряд q имеет потенциальную энергию , тогда энергия диполя

.

Из рис. находим

,,

получаем

.

Получим распределение вектора дипольного момента по углам при температуре Т. Распределение Больцмана (2.55)

записываем в сферических координатах с осью z, направленной по полю. Используем

.

Потенциальная энергия не зависит от радиуса. Интегрируем распределение по радиусу, тогда

,

где элемент телесного угла

.

Потенциальная энергия не зависят от угла φ. Интегрируем по φ

,

находим

.

Для упрощения вводим

–относительная энергия взаимодействия,

, ,,

.

Получаем

.

Вычисляем

,

находим функцию распределения ориентаций дипольного момента

. (П.6.7)

Средняя проекция дипольного момента

.

Интегрируем по частям

, ,,

.

Получаем

, (П.6.8)

где L(a) – функция Ланжевена.

В слабом поле

, ,

разлагаем в ряд

,

получаем

, ,

,

где ориентационная поляризуемость

обратно пропорциональна температуре.

В сильном поле

, ,

,

,

.

Все диполи ориентированы по полю, возникает насыщение поляризуемости.

Поль Ланжевен разработал статистическую теорию парамагнетизма в 1905 г. и получил результат, аналогичный (П.6.8). Петер Дебай применил в 1911 г. статистический метод Ланжевена для поляризации диэлектриков и назвал функцию (П.6.8) именем Ланжевена. В честь Дебая названа внесистемная единица электрического дипольного момента

1 Д (дебай) = 110^–18 ед. СГС = 3,3356410^–30 Клм.

Поль Ланжевен (1872–1946) Петер Дебай (1884–1966)