Распределение Больцмана

Для идеального газа, находящегося во внешнем поле при температуре Т, получим распределение частиц по координатам. При отсутствии внешнего поля все точки объема с газом равноправны. Тепловое движение разбрасывает частицы газа с равной вероятностью по всем точкам объема и концентрация частиц не зависит от координат. В стационарном потенциальном поле частица имеет потенциальную энергию и на нее действует сила

, ,

направленная в сторону быстрейшего уменьшения потенциальной энергии. Сила перемещает частицы газа в указанном направлении, но их разбрасывает тепловое движение. Конкуренция этих тенденций создает равновесное распределение концентрации частиц по координатам .

Получение распределения

Используем каноническое распределение частицы газа по фазовому пространству (2.17)

.

В гамильтониане частицы

слагаемые с импульсами и координатами разделены, поэтому распределения по импульсам и координатам являются независимыми сомножителями

.

Интегрируем по импульсам, используем нормировку

,

получаем распределение Больцмана по координатам

, (2.55)

где

–вероятность обнаружения частицы в элементе объемаоколо точки ;

–число частиц в элементе объема ;

N – число частиц в объеме сосуда V;

–потенциальная энергия частицы во внешнем поле в точке .

Используем нормировку вероятности

,

находим постоянную

.

Из (2.55) получаем

. (2.55а)

Если потенциальная энергия зависит от одной координаты , то интегрируем (2.55а) по координатамx и y в пределах объема сосуда с газом, и находим

, (2.55б)

где

–вероятность обнаружения частицы в интервале ;

–плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы в единичном интервале около z;

N – число частиц в сосуде.

Число частиц в интервале сосуда

(2.56)

В объеме газа мысленно выделяем цилиндр с образующей вдоль z, с поперечным сечениемS, и числом частиц . В интервале с объемом

находится число частиц

,

где локальная концентрация

. (2.56а)

Выполняется нормировка

.

Формула Больцмана

Рассмотрим газ в однородном поле тяжести. Сила mg действует на частицу вниз. Тепловая энергия раскидывает частицы по разным высотам. Концентрацияуменьшается с высотойz.

Потенциальная энергия частицы

,

где m – гравитационная масса частицы; . Для концентрации на высотеz получаем из (2.56а) формулу Больцмана

, (П.6.1)

где – концентрация при. На высоте

концентрация уменьшается в раз

.

С ростом температуры растет , уменьшается число частиц на малых высотах и увеличивается число частиц на больших высотах. Площадь под кривой распределения не зависит от температуры.

Если частицы заполняют цилиндр 0  z <  с поперечным сечениемS, тогда число частиц в цилиндре

.

Получаем концентрацию при

,

и около точки z

.

Площадь под кривой

.

Вероятность обнаружить частицу в интервале

. (П.6.2)

Среднее положение частицы

,

где использовано

,

.

Число частиц в цилиндре

. (П.6.3)

Средняя потенциальная энергия частицы с учетом равна

.

Этот результат следует также из теоремы о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы используем (2.38) и (2.39)

, .

Для потенциальной энергии подставляем и находим

.

Частные значения. При T = 300К для воздуха  = 29 кг/кмоль получаем

км.

N частиц каждая массой m в столбе воздуха с единичным поперечным сечением создают давление

.

Для нормального давления Р = 760 мм р.с. находим число частиц в столбе воздуха единичного поперечного сечения

см^–2.

Из (П.6.3)

получаем концентрацию молекул у поверхности земли – число Лошмидта

см^–3.

Сравниваем с концентрацией электронов проводимости металла .

Иоганн Йозеф Лошмидт (1821–1895)