Поток энергии
Плотность
потока энергии
по оси z
есть средняя энергия, переносимая
частицами газа за 1с через единичную
площадку, перпендикулярную оси z.
Частица несет энергию, связанную с
движением по трем направлениям:
.
Для потока вдоль оси z оси x и y равноправны, тогда
.
Движения
по осям x,
y
и z
происходят независимо, соответствующие
вероятности перемножаются. Число частиц,
проходящих
за 1с через
единичную площадку, перпендикулярную
оси z,
со скоростями в интервале
равно
,
где
– вероятность у частицы проекции
скорости на осьi
в интервале
.
Умножаем на энергию, суммируем по всем
возможным проекциям, и получаем плотность
потока энергии
.
Подставляем
,
находим
.
Интегралы разделяются
.
Учитываем нормировку вероятности
,
,
получаем
.
Для вычисления интегралов используем:
вероятность (2.42)
,
,
плотность потока частиц (2.51)
,
средний квадрат проекции скорости (2.42б)
.
В результате
.
Вычисляем
,
где учтено
и использовано
,
,
,
.
С учетом
находим
.
В результате плотность потока энергии
.
(2.54)
Следовательно, средняя энергия частицы в потоке
.
(2.54а)
Это превышает среднюю энергию частицы в газе (2.50)
.
Поток не является равновесным состоянием, к нему не применима теорема о распределении энергии по степеням свободы. Бóльший вклад в поток вносят более быстрые частицы.
Вытекание газа из отверстия сосуда в вакуум
Найдем число частиц, выходящих из круглого отверстия сосуда с газом в вакуум под разными углами и с разными скоростями. Размер отверстия считаем достаточно малым по сравнению с характерным размером сосуда, чтобы вытекающий поток был слабым, распределение частиц в газе оставалось равновесным, и можно было использовать полученные ранее функции распределения.
Направляем ось z перпендикулярно плоскости отверстия площадью S. Используем распределение частиц газа по скоростям в сферических координатах (2.43)
.
Осевая
симметрия системы позволяет проинтегрировать
распределение по углу j
и получить концентрация частиц газа,
движущихся с модулем скорости
под углом
.
Число вылетающих за 1с частиц под углом q со скоростью v пропорционально эффективной площади отверстия в направлении движения
,
скорости частиц и концентрации
,
тогда
(П.5.7)
– число
частиц, вылетающих за 1с через отверстие
площадью S
с модулем скорости
под углом
.
Интегрируем
(П.5.7) по модулю скорости в интервале
,
используя
,
,
,
,
и
находим число частиц, вылетающих за 1с
со всеми скоростями под углом
,
(П.5.8)
где плотность потока частиц, подходящих к отверстию, (2.52)
.
Согласно (П.5.8) число частиц, вылетающих в единичный интервал угла около значения
.
Пунктирная
линия на рисунке является функцией
распределения по углу. При
распределение зануляется из-за обращения
в нуль телесного угла
,
через который идет поток частиц. Максимум
распределения соответствует
= 45.
Распределение (П.5.7)
интегрируем по углу q в интервале (0, p/2). Используем
,
и
находим число частиц, вылетающих за 1с
по всем направлениям со скоростями в
интервале
:
.
(П.5.9)
Интегрируя (П.5.8) по углу, или (П.5.9) по скорости, и получаем число частиц, вылетающих через отверстие за секунду со всеми скоростями и под всеми углами
.
(П.5.10)
Результат
очевиден, поскольку
плотность потока частиц
– число частиц, движущихся со скоростями
,
и произвольными 
,
,
и пересекающих единичную поперечную
оси z
площадку за одну секунду.