Средняя и средняя квадратичная проекции скорости

Гамильтониан и распределение (2.42а) зависят от квадрата скорости, направления по- и против оси x равновероятны. Средняя проекция скорости

.

Средний квадрат проекции скорости

,

и средняя квадратичная проекция скорости

. (2.42б)

увеличивается с ростом температуры. Для доказательства подставляем распределение (2.42а)

,

находим

,

где использовано

,

, , .

Выполняется

.

Распределение в сферических координатах

Получим распределение по модулю скорости и по углам, используя сферические координаты. В распределении (2.41б)

переходим от декартовых к сферическим координатам

,

где

, .

Получаем вероятность обнаружения частицы с модулем скорости в интервале околоv и в интервале углов около направления

, (2.43)

где – концентрация частиц со скоростями в указанных интервалах; n – концентрация частиц со всеми значениями скорости.

Распределение по модулю скорости

Интегрируем (2.43) по углам, учитываем

и находим вероятность обнаружения частицы с любыми направлениями движения и с модулем скорости в интервале

, (2.44)

где функция распределения по модулю скорости

, (2.44а)

или относительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около ;

–концентрация частиц с модулем скорости в интервале ;

–концентрация частиц с модулем скорости в единичном интервале около v.

Выполняется нормировка вероятности

.

Площадь под кривой равна единице при любой температуре. Функция максимальна при наиболее вероятной скорости . Приграфик является параболой. Прифункция экспоненциально убывает. С ростом температуры максимум распределения понижается и сдвигается вправо, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью, уменьшается вероятность обнаружить частицу с малой скоростью.

Наиболее вероятная скорость

Для наиболее вероятной скорости функция распределения максимальна

.

Из

с учетом (2.44а)

находим наиболее вероятную скорость

. (2.45)

Средняя скорость

Используем

.

Подставляем (2.44а)

,

находим

. (2.46)

При вычислении учтено

,

, , .

Средняя квадратичная скорость

Используя

,

находим

. (2.47)

Распределение по энергии

В распределении по модулю скорости (2.44)

заменяем

, ,,

где ε – кинетическая энергия частицы. Получаем вероятность энергии частицы в интервале

, (2.48)

где распределение Максвелла по энергии

(2.48а)

– относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ε;

–концентрация частиц с энергией в интервале ;

–концентрация частиц с энергией в единичном интервале около .

Выполняется нормировка

, .

Площадь под кривой равна единице при любой температуре. Функция максимальна при наиболее вероятной энергии . Приграфик является параболой с горизонтальной осью. Прифункция экспоненциально убывает. С ростом температуры максимум функции понижается и сдвигается вправо. Увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией, уменьшается вероятность обнаружить частицу с низкой энергией.