4. Распределение электронов у поверхности металла

Движущиеся из металла электроны проводимости притягиваются к положительному заряду нескомпенсированных ионов и возвращаются назад. Около поверхности образуется облако из вылетающих и возвращающихся электронов с концентрацией n(x), где ось x перпендикулярна к поверхности металла и начинается на ней. Получим равновесное распределение .

При используем распределение Больцмана

, (П.7.12а).

где потенциальная энергия электрона связана с потенциалом точки , где он находится:

.

Потенциал создают заряды с объемной плотностью

.

Они связаны уравнением Пуассона

,

где – электрическая постоянная; ε – диэлектрическая проницаемость среды вне металла. Для распределения по осиx получаем

.

С учетом (П.7.12а) потенциальная энергия электрона удовлетворяет

.

Частное решение полученного уравнения для требует задания граничных условий на поверхности металла и вдали от него. Используем, тогда с учетом (П.7.12а)

,

для заземленного металла получаем

, .

Напряженность электрического поля на бесконечности равна нулю, тогда с учетом

.

Уравнение

умножаем на

,

интегрируем

.

Получаем

.

При учитываем

, ,

находим

,

в результате

.

В уравнении разделяем переменные

,

интегрируем

,

получаем

.

При учитываем, находим

.

Вводим расстояние экранирования Дебая

,

получаем

,

. (П.7.13)

Из (П.7.12а)

и (П.7.13) получаем зависимость концентрации электронов от расстояния до поверхности металла

.

Концентрация убывает в четыре раза при . Расстояние Дебая показывает характерную протяженность электронного облака у поверхности металла и имеет величину порядка ангстрема, то есть размера атома.

5. Донорная примесь в полупроводнике

Атом-донор отдает валентный электрон в состав электронного газа полупроводника и становится ионом с зарядом +е. Ион притягивает электронный газ и его концентрация зависит от расстояния r до иона. Найдем размеры области полупроводника, где существенно электрическое поле донора, при нормальной температуре T и концентрации свободных электронов n.

Ион находится в точке и имеет плотность заряда. Электрическое поле иона перераспределяет свободные заряды и изменяет концентрацию электронного газа, образованного собственной проводимостью полупроводника. Избыточная, по сравнению со средним значением, плотность заряда

,

где – средняя концентрация электронов собственной проводимости на большом расстоянии от иона. Результирующая плотность заряда

.

Распределение потенциала описывается уравнением Пуассона в виде

, (П.7.13а)

где ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника. Из равенства электрохимических потенциалов в состоянии равновесия системы аналогично примеру 1 с учетомполучаем

.

При высокой температуре разлагаем экспоненту в ряд и оставляем первые два слагаемые

, ,

уравнение Пуассона (П.7.13а) получает вид

, .

Уравнение решаем методом фурье-преобразования

, ,

Подстановка в уравнение с учетом

дает фурье-образ потенциала

,

тогда

.

Для вычисления интеграла используем сферические координаты в пространстве q с осью z вдоль вектора r, тогда

, .

После интегрирования по углу φ

.

Вычисляем внутренний интеграл

,

тогда

.

Во втором интеграле заменяем q  –q

,

и получаем

.

Интеграл

вычисляем при помощи теории вычетов. Выбираем контур интегрирования в комплексной плоскости вдоль всей вещественной оси и замыкаем его в верхней полуплоскости. Это обеспечивает зануление подынтегральной функции на верхней части контура интегрирования при , где, за счет множителя. Внутри контура находится полюс в точке. Ищем вычет в полюсе

,

где

,,

находим

.

Интеграл равен

.

Получаем распределение потенциала вокруг донорной примеси

. (П.7.10)

Потенциал существенно уменьшается при радиусе экранирования Дебая

. (П.7.11)

Для кремния ,. ПриполучаемǺ. Выполняетсяи условие применимости решения. Радиус Дебая сравним с расстоянием между электронамиǺ.