Термодинамические характеристики системы

Энтропия. Используем (2.179)

.

Подставляем (2.184) и (2.187) в виде

,

находим энтропию газа

. (2.192)

Число частиц. Используем (2.179)

и

,

тогда среднее число частиц газа

, (2.193)

где использована активность

, .

С учетом (2.183)

,

,

где (2.191) в виде

, (2.193а)

из (2.193), (2.184) и

получаем среднее число частиц газа

, (2.194а)

. (2.194б)

Последнее равенство в (2.194б) является определением среднего для числа частиц.

Внутренняя энергия. Для средней энергии газа выполняется

, (2.195)

где использовано

и (2.183)

,

,

уравнение Гиббса–Гельмгольца (2.96)

,

и (2.193а)

.

Правая сторона (2.195) является определением среднего значения внутренней энергии системы.

Распределение микросостояний по энергии и числу частиц

В (2.190)

гамильтониан системы заменяем на энергиюЕ и используем (2.16)

.

Для газа с температурой Т получаем вероятность обнаружения микросостояний с числом частиц N и энергией в интервале

. (2.196)

Тогда вероятность равновесного состояния с числом частиц N и энергией E

. (2.197)

Примеры

1. Дисперсия и флуктуация числа частиц

Получим дисперсию числа частиц

и их относительную флуктуацию для идеального газа со средним числом частиц при температуреT.

Используем вероятность N частиц (2.191)

и статинтеграл (2.183)

.

Получаем

,

или

. (П.7.1)

Из (2.193)

и (П.7.1) находим

=.

В результате

, (П.7.2)

. (П.7.3)

2. Омега потенциал газа с поступательным движением частиц

Для газа, содержащего в среднем частиц с поступательным движением при температуреТ, найдем Ω-потенциал, дисперсию и относительную флуктуациючисла частиц.

Омега-потенциал газа находим из (2.188)

.

Для частиц с поступательным движением из (2.159)

и (2.161)

получаем среднее число частиц

.

Результат подставляем в (П.7.3)

.

Находим дисперсию числа частиц

и относительную флуктуацию

. (П.7.5)

Результат соответствует формуле (1.37)

распределения Пуассона.

3. Вывод формулы Больцмана

Формулу Больцмана (2.76) для зависимости концентрации газа, находящегося в потенциальном поле, от координат

,

получим из условия термодинамического равновесия.

Используем химический потенциал (2.62а) идеального газа атомов с поступательным движением

,

и электрохимический потенциал (2.59) в поле с потенциальной энергией частицы

.

Для точки r получаем

.

Отсчитываем потенциальную энергию от точки , где полагаем. Получаем электрохимический потенциал в начале координат

.

При термодинамическом равновесии электрохимический потенциал одинаков во всех точках системы согласно (2.60)

,

тогда

.

Объединяем слагаемые с логарифмами

,

получаем формулу Больцмана

. (П.7.12)