Омега-потенциал

Другое название большой потенциал, определяется через свободную энергию

, (2.178)

где использовано (2.39)

и (2.177)

.

Следовательно,

и омега-потенциал не зависит явно от числа частиц системы. Омега-потенциал единицы объема равен давлению со знаком минус.

Используя (2.152)

,

из (2.178)

получаем

,

тогда

,

,

. (2.179)

Соотношение (2.178)

(2.180)

является уравнением состояния системы.

Большое каноническое распределение

Рассмотрим идеальный газ с постоянными температурой и объемом , обменивающийся энергией и частицами с термостатом. Искомое распределение дает вероятность того, что система имеет определенное число частиц и находится в элементе объема фазового пространства около точкиX.

Распределение микросостояний по фазовому пространству. При газ описывается каноническим распределением (2.76)

.

Свободная энергия зависит от температуры и числа частиц. Выражаем ее через-потенциал, не зависящий от N, используя (2.178)

.

Получаем большое каноническое распределение – вероятность того, что система при температуре T имеет N частиц и находится в элементе объема около точкифазового пространства

. (2.181)

Статистический интеграл

В условие нормировки вероятности

подставляем (2.181)

. (2.182)

Определяем статистический интеграл большого распределения

. (2.182а)

Используем статистический интеграл канонического распределения (2.78), (2.79) и активность

,

.

Получаем

. (2.183)

Условие (2.182) дает

,

, (2.184)

откуда

. (2.185)

Для газа из N одинаковых частиц используем (2.80)

,

тогда из (2.183)

.

Учитывая

,

находим

(2.186)

Из (2.160)

получаем

,

. (2.187)

Статистический интеграл большого канонического распределения равен экспоненте от среднего числа частиц системы. Из (2.184)

,

(2.187)

,

(2.160)

,

(2.180)

находим омега-потенциал и уравнение состояния газа

, (2.188)

. (2.189)

Уравнение (2.189) обобщает уравнение Менделеева–Клапейрона на случай идеального газа с переменным числом частиц.

Большое каноническое распределение

Из (2.181)

и (2.184)

получаем большое каноническое распределение

. (2.190)

Вероятность N частиц в системе находим, интегрируя (2.190) по фазовому пространству:

.

С учетом (2.78) и (2.79)

,

получаем вероятность N частиц системы

. (2.191)

Нормировка

выполняется согласно (2.183)

.

Используем

,

,

тогда

.

Используем (2.160)

,

тогда

.

В результате

.

С учетом (2.187)

из (2.191)

следует распределение Пуассона (1.32)

для вероятности того, что газ содержит N частиц при среднем числе .