Examples

При строительстве Петербурга силами большого числа на¼мных рабочих было забито огромное количество свай. Тогда же под руководством генерал - губернатора были проделаны инженерные изыскания результатом которых было создание первой паровой сваебойки. Об этом изобретении было незамедлительно доложено Сенату.

В последовавшем за этим Указом генерал - губернатору был объявлен строжайший выговор за то, что "прив¼л казну к большим необоснованным растратам при сооружении города".

Из хроник строительства СПбурга, XVIIIв.

1

Делая что-нибудь бесполезное ограничивайтесь лишь самым необходимым.

Шамфор

1Неприводимые полиномы и дробно - рациональные выражения.

Старая школьная задача: "Как поделить одиннадцать яблок на шесть человек поровну, да так, чтобы никакое яблоко не разрезать на шестые части?"

А как поделить пять галлонов поровну на двадцать четыре человека если имеются мерные ¼мкости только в одну треть галлона и одну пинту1?

Это задачи о разложении рационального числа в сумму целого числа и простейших дробей, знаменатели которых простые числа или степени простых целых чисел. Решение следует из представления:

В этом представлении простые числа pi; i = 1; : : : ; s делители знаменателя n, à ri их степени в разложении этого числа, т.о. n = §pr11 : : : prss:

При этом в числителях дробей стоят целые числа aij

модули: jaijj < pi; i = 1; : : : ; s:

1один галлон составляет восемь пинт

2

Рассмотрим произвольное поле K переменную X и кольцо полиномов от этой переменной с коэффициентами из поля K: K[X]: Также как и кольцо целых чисел K[X] допускает алгоритм

деления с остатком.

Поле частных кольца полиномов K[X] образовано дробно - рацио-

нальными выражениями вида

½f ¯ ¾

K(X) = g ¯¯ f; g 2 K[X]; g 6= 0 :

Равенство таких выражений и операции с ними определяются по обыч- ным правилам действия с дробями. В частности, для каждого дробного выражения можно подобрать его несократимое представление.

Правильными называют такие выражения, в которых степень числителя меньше степени знаменателя: deg(f) < deg(g). Простейшими

выражениями называют дроби вида pfn в которых полином p(X) неприводимый над полем K, т.е. знаменатель примарен, а степень числителя

f(X) не превосходит степени этого многочлена p(X); deg(f) < deg(p).

Для отношений полиномов дробно - рациональных выражений имеется подобное разложение.

Теорема Любое дробно - рациональное выражение представляется суммой некоторого полинома Q(X) и подходящих простейших дробей

Ïðè ýòîì g = pr11 : : : prnn разложение знаменателя в произведение неприводимых (над полем K) полиномов. Степени числителей fij íå

превосходят степени неприводимого полинома pi(X); deg(fij) < deg(pi): Кроме того, такое представление определено однозначно по f è g.

Выведем частные случаи этой теоремы для поля комплексных чисел C и поля вещественных чисел R. Для этого следует определить неприво-

димые полиномы над этими полями. Их описание выводится из теоремы Гаусса.

3

Основная теорема алгебры. Произвольный непостоянный полином P (X) 2 C[X]; f 62C с комплексными коэффициентами имеет

комплексный корень. Найд¼тся z 2 C для которого f(z) = 0:

По теореме Безу отсюда следует, что среди полиномов с комплексными коэффициентами неприводимы только линейные полиномы. Отсюда получаем такое следствие общей теоремы

Следствие Любое дробно - рациональное выражение с комплексными коэффициентами представляется суммой некоторого комплексного полинома и подходящих комплексных простейших дробей

g(X); r1; : : : ; rn èõ êðàò-

ности, а Aij некоторые комплексные числа. Кроме того, такое представление определено однозначно по полиномам f è g.

Например,

Упражнения.

Для полиномов с вещественными коэффициентами искомое разложение имеет более сложный вид в силу более сложного строения неприводимых полиномов (с вещественными коэффициентами). Они разбиваются на два типа.

4

Рассмотрим полином с вещественными коэффициентами P (X) 2 R[X];

f 62R: Такой полином кроме комплексных корней может иметь веще-

ственные корни, а комплексные корни такого полинома присутствуют парами, вместе с комплексным корнем z = a + bi сопряж¼нное ему чис-

ëî z = a ¡ bi также будет служить корнем этого полинома. Поэтому по

основной теореме алгебры неприводимыми полиномами с вещественными коэффициентами служат либо линейные полиномы, либо квадратные тр¼хчлены с отрицательными дискриминантами.

Получается такое следствие основной теоремы.

Следствие Любое дробно - рациональное выражение с вещественными коэффициентами представляется суммой некоторого вещественного полинома и подходящих простейших дробей

Ïðè ýòîì z1; : : : ; zm вещественные корни полинома g(X); à r1; : : : ; rmих кратности, Aij; Bij вещественные числа. Далее, X2 + pjX + qj

неприводимые делители полинома g(X) с отрицательными дискриминантами, они отвечают парам комплексных корней, а rm+1; : : : ; rn èõ

кратности.

Кроме того, такое представление определено однозначно по f è g.

Например,

5

Замечание Обычно коэффициенты разложения определяют "методом неопредел¼нных коэффициентов".

Эти результаты используются в интегральном исчислении. Из них в частности следует, что любое дробно - рациональное выражение "интегрируется в квадратурах", т.е. первообразная любого дробно - рационального выражения есть элементарная функция, определить которую несложно с помощью этого разложения по таблице интегралов.

Упражнения.

Определите разложения следующих дробно - рациональных выражений над вещественными числами:

Вычислите первообразные этих функций.

2 Правило Крамера в электротехнике.

Электрическая цепь состоит из криволинейных (ломаных линий) проводников соединяющих источники тока и сопротивления. Через каждую точку проводника электрической цепи протекает электрический ток, его оценивают силой тока. Между каждой парой точек цепи имеется разность потенциалов, е¼ называют напряжением.

Единицы измерения напряжения - Вольт (V), силы тока Ампер (I),а сопротивления Ом (R).

Законы, определяющие силы тока и напряжения в любой электриче- ской цепи:

Закон Ома связывает напряжение и силу тока на сопротивлении

V = R ¢ I:

6

Правила Киркгофа:

1.В любой точке электрической цепи величина суммарного втекающего тока равна суммарному вытекающему току.

2.Суммарное падение напряжения на любом замкнутом контуре цепи равно прилагаемому на н¼м напряжению.

Для примера определим силы тока I1; I2; I3 в электрической цепи:

Это приводит к системе линейных уравнений:

7

8

< I1 + I2 ¡ I3 = 0

: 6I1 ¡ 2I2 = 0 2I2 + 3I3 = 18

Решение находим по правилу Крамера:

Упражнения

Замечание Закон Ома, в силу которого имеется линейная зависимость напряжения на элементе цепи в зависимости от силы тока, можно использовать как определение сопротивления элемента электрической цепи. Это используется в следующих упражнениях с помощью которых можно значительно упростить выполнение предыдущих.

8