Сборник задач по дискретке
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
С.Х. РОЯК, М.Э. РОЯК
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве сборника задач
НОВОСИБИРСК
2013
УДК 519.1(076.1) Р 816
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент М.Г. Токарева; канд. физ.-мат. наук, доцент М.П. Тропин
Работа подготовлена на кафедре прикладной математики
Рояк С.Х.
Р 816 Сборник задач по дискретной математике / С.Х. Рояк, М.Э. Рояк. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. – 87 с.
ISBN 978-5-7782-2171-0
Сборник включает подборку задач, используемых при изучении курсов «Дискретная математика», «Дискретная математика и математическая логика» Пособие может быть рекомендовано как для подготовки домашних заданий, так и для самостоятельного изучения курса в комплекте с конспектом лекций.
Предназначено для студентов I курса всех специальностей факультета при- кладной математики и информатики.
УДК 519.1(076.1)
ISBN 978-5-7782-2171-0 |
©Рояк С.Х., Рояк М.Э., 2013 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2013 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. |
Системы счисления .................................................................................... |
4 |
|
Ответы ..................................................................................................... |
63 |
2. |
Теория множеств .......................................................................................... |
5 |
|
Ответы ..................................................................................................... |
63 |
3. |
Булева алгебра ............................................................................................ |
28 |
|
Ответы ..................................................................................................... |
76 |
4. |
Исчисление высказываний ....................................................................... |
34 |
|
Ответы ..................................................................................................... |
80 |
5. |
Исчисление предикатов ............................................................................ |
46 |
|
Ответы ..................................................................................................... |
83 |
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ............................................................................... |
63 |
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................ |
87 |
|
1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
1. Записать в десятичной системе счисления числа, записанные в Римской системе: IV, VIII, XIX, XL, CCCXC, MCMLXXXIX.
2. Записать в Римской системе счисления числа: 24, 46, 98, 176, 1963, 1998.
3.Какое самое большое 5-значное число в троичной, восьмеричной системах счисления?
4.Как изменится число 325006 если:
а) приписать справа один нуль, б) отбросить справа два нуля?
5.Записать в d-ичной системе числа d 2 , d 3 , …, d n .
6.В турнире участвовали 13 мальчиков и 54 девочки, всего 100 чело- век. В какой системе счисления сделаны эти записи?
7.Определить d , для которого:
|
а) 2d × 2d |
= 10d , |
б) 4d × 4d |
= 31d , |
в) 53d = 33, |
г) 212d = 23. |
||||||||||
8. |
Какое из чисел больше: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) 316 |
или 38 , |
б) 1416 или 148 , |
|
|
|
||||||||||
|
æ 1 |
ö |
æ 1 |
ö |
æ |
1 ö |
æ 1 |
|
ö |
|
|
|||||
|
в) ç |
|
÷ |
или ç |
|
÷ , г) |
ç |
|
|
÷ |
или ç |
|
|
÷ , |
д) 0,112 |
или 0,1116 ? |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
è 3 |
ø5 |
è 3 |
ø8 |
è |
14 ø5 |
è14 |
|
ø8 |
|
|
|||||
9. |
Записать в десятичной системе счисления числа: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1324, 10023, 31758, |
21214, 7778, |
55417. |
|
|||||||||
10. |
Записать числа 49, 57, 101, 196 в d -ичной системе счисления: |
|||||||||||||||
|
а) d = 3, б) d = 5, в) d = 7 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. |
Перевести числа |
1100010112, 10101001002, 1100000102, 100110012 |
||||||||||||||
в d -ичную систему счисления: |
|
|
|
|
а) d = 4 , |
б) d = 8, |
в) d = 16. |
|||||||||
12.Перевести числа 5218, 6158, 4038, 1258 в двоичную систему счисления.
13.Перевести числа A3516, D2716, F4916, E8B516, С60116, 123B16, E457116
в d -ичную систему счисления: |
а) d = 4 , б) d = 2 , в) d = 8. |
14.Сколько существует n-значных чисел в d-ичной системе счисления?
15.Вычислить:
а) 101,11012 +11,10112 , б) 11101,112 +10011,12 , в) 101101,0112 +1111,1012 , г) 11,12 ×10,12 , д) 1001,112 ×1,112 , е) 0,10112 ×1,12 .
4
2.ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1.Задать множества A, B , C перечислением их элементов и найти
B IC , A U B , ( A U B) IC , A I B IC , если:
1)A – множество делителей числа 12; B = {1;5}; C – множество
нечетных чисел x таких, что 2 < x < 13;
2) A – множество четных чисел x таких, что 3 < x < 10 ; B – множе- ство делителей числа 21; C – множество простых чисел, меньших 12.
2. Изобразить на координатной прямой множества AUB , AIB и AIB , если:
а) A = (-1,0] и B = [0,2),
б) A = (−∞,1] и B = (−∞,−3),
в) A = {x x Ρ и - 5 £ x < 2} и B = {x x Ρ и 1< x £ 4},
г) A = {x x Ρ и x < 5} и B = {x x Ρ и x ³ -7}.
3. Изобразить на координатной плоскости множество A I B \ C , если:
A = {(x, y) x, y Ρ и x £ 4, y £ 4},
B= {(x, y) x, y ¡ и x2 + y2 ≤ 25},
C= {(x, y) x, y ¡ и y > 0}.
4.Определить множества:
а) {x x = 5y, y ΢}\{x x =10y, y ΢},
б) {x x = 4n + 2, n ¥}I{x x = 3n, n ¥}, в) {x x = 2 y, y ¢}I{x x = 3y, y ¢},
г) {x x = 2 y, y ¢}U{x x = 3y, y ¢}.
5. Доказать, что: |
3) A I B A A U B ; |
|
1) A A; |
||
2) если A B и B C , то A C ; |
4) |
A I B B A U B ; |
|
5) |
A \ B A . |
5
6. Какие знаки из множества {=, ¹, É, Ì,Î} можно поставить вместо символа «?», чтобы полученное утверждение было верным?
1) |
{1,3} ? {1,2,3} , |
|
7) |
{( |
|
|
) |
|
( |
3,2 |
)} |
? |
{( |
|
) |
, |
|
( |
2,3 |
)} |
, |
|
||||||||
|
|
2,1 , |
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
{2,3,4} |
? {1,2,3} , |
|
|
{{ } { |
}} {{ |
|
} { }} |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
8) |
1,2 |
|
, |
|
2,3 |
|
? |
|
3,2 |
, |
|
2,1 |
|
|
|
, |
|
||||||||||||
|
{ |
} |
|
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
1,2,3 |
|
x |
|
x делитель 6 |
, |
9) |
{{ } |
, |
{ |
}} |
? |
{( |
) |
|
|
( |
2,3 |
)} |
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
2,3 |
|
|
2,1 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
{1,2,3} ? {x |
|
x Î¥ и x < 4}, |
10) |
{{ } |
, |
{ }} |
? |
{{ } |
|
{ |
} |
{ }} |
, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
2,3 |
|
|
2,1 , |
|
|
3,2 , |
|
1,3 |
||||||||||
5) |
{{1,2}, {2,3}} ? {1,2,3}, |
|
11) |
Æ |
? |
|
Æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) 1 ? |
1 , |
|
|
|
|
|
|
12) |
Æ ? {1,3}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
{ } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.Какие из утверждений верны для всех A, B и C ?
1)Если AÎ B и B ÎC , то AÎC .
2)Если A Ì B и B ÎC , то AÎC .
3)Если A ¹ B и B ¹ C , то A ¹ C .
4)Если A I B Ì C и A UC B , то A IC = .
5)Если A Ì (B UC) и B Ì (A UC), то B = Æ .
8.Подобрать такие множества A, B и C , для которых выполняются следующие утверждения:
1)AÎ B , B ÎC , AÎC ;
2)A Ì B , B ÎC , AÎC ;
3)A ¹ B , B ¹ C , A ¹ C .
9.Дано произвольное множество A. Определить множества
A I A, A U A, A \ A.
10.Даны два произвольных множества A и B такие, что A I B = . Определить множества A \ B и B \ A.
11.Даны два произвольных множества A и B такие, что A I B = . Определить множества A I B и A U B .
12.Существуют ли такие множества A, B и C , что
A I B ¹ Æ , A IC = Æ , (A I B) \ C = ?
13. Доказать эквивалентность пяти утверждений:
1) A Ì B ; 2) A U B = B ; 3) A I B = A; 4) A \ B = Æ ; 5) A U B = U.
6
14. Для заданных в левом столбце таблицы диаграмм Венна указать все соответствующие закрашенной части описания множеств из правого столбца:
I
II
III
IV
V
1)((B \ C) U(C \ ( A I B))) U( A I B) ,
2)( A I B IC ) \ (C \ ( A U B)),
3)(( A UB UC) \ (C I(A UB)))U( A IB IC),
4)((B UC ) \ (C I B)) \ (A I B),
5)(B ÷ C) \ (A I B),
6)(C ÷ (A U B))U( A I B IC),
7)((B UC )I A)U(C ÷ B),
8)((B ÷ C ) \ (A IC ))U( A I B IC),
9)((B UC ) \ (B IC))U(A I(C U B)),
10)C U(( A IC) \ B)U((B IC) \ A),
11)((B \ C) U(C \ ( A I B)))U(A I B IC),
12)(A I(B UC))U(B ÷ C),
13)(A U B UC)\ (C \ (A U B)).
7
15. Описать множества, соответствующие закрашенной части диаграм- мы Венна:
I
16.Доказать, что:
1)A \ (B UC) = ( A \ B) I( A \ C);
2)A \ (B IC) = ( A \ B) U( A \ C);
3)A \ ( A \ B) = A I B ;
4)A \ B = A \ ( A I B) ;
5)A I(B \ C) = ( A I B) \ ( AIC) ;
6)( A I B) \ ( A IC ) = ( A I B) \ C ;
7)A I(B \ C) = ( A I B) \ C ;
8)( A \ B) \ C = ( A \ C ) \ (B \ C);
9)A U B = A U(B \ A) ;
10)( A I B) U(A I B) = A;
11)(A U B)I(A U B) = A;
12)(A U B)I A = A I B ;
13)(A U B) \ C = (A \ C )U(B \ C);
14)A \ (B \ C ) = (A \ B)U( A IC);
15)A \ (B UC) = (A \ B) \ C ;
16)A U B Ì C Û A Ì C и B C ;
17)A Ì B IC Û A Ì B и A C ;
II
18)A Ì B UC Û A I B Ì C ;
19)A Ì B Þ C \ B Ì C \ A ;
20)A Ì B Þ B Ì A;
21)A U B = A I B Þ A = B ;
22)A= B Û AIB =Æ и AUB =U;
23)A ¸ (B ¸ C ) = (A ¸ B) ¸ C ;
24)A ¸ (A ¸ B) = B ;
25)A U B = A ¸ B ¸ (A I B);
26)A U B = (A ¸ B) U(A I B);
27)A \ B = A ¸ (A I B);
28)A ÷ B = A = B ;
29)A I B = Æ Þ A U B = A ¸ B ;
30)A I B Ì С Û A Ì B UC ;
31)AU(B IC) = (AUB) I(AUC );
32)(A U B)I A = (A I B)U A = A;
33)A I(B \ A) = ;
34)(A I B)U(C I D) =
=( AUC )I(B UC )I(AUD)I(B UD).
8
17. Доказать следующие тождества: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
UUAkt |
=UU Akt |
; |
|
U(B I Ak |
) |
= |
æ |
|
ö |
|
|||
|
5) |
B Iç |
UAk ÷ ; |
||||||||||||
|
k K t T |
|
t T k K |
|
|
||||||||||
2) |
|
IIAkt |
= II Akt |
; |
|
k K |
|
|
è k K |
ø |
|
||||
|
|
I(B U Ak |
) |
|
æ |
|
ö |
|
|||||||
|
k K t T |
|
t T k K |
|
6) |
= B Uç |
IAk ÷ |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k K |
|
|
è k K |
ø |
|
|
3) |
|
U Ak = I Ak ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
7) |
U Ak U UBk = U(Ak U Bk ); |
||||||||||||
|
k K |
k K |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k K k K |
|
|
k K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
|
U Ak = I Ak ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
8) |
UIAkt Ì IU Akt . |
|
|
||||||||||
|
k K |
k K |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k K t T |
t T k K |
|
|
|
||
18.Доказать, что:
1)UAi – наименьшее множество, которое содержит все Ai ;
i I
2) IAi – наибольшее множество, которое содержится во всех Ai .
i I
19.Найти булеаны множеств {x}, {1,2}, {1,2,3}, , {Æ}, {Æ,{Æ}}.
20.Доказать, что:
1)P(A I B) = P( A) IP(B), где P(A) – булеан множества A;
2) P(A U B) = {A1 U B1 |
|
A1 ÎP(A) и B1 ÎP(B)}; |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
æ |
|
ö |
= IP(Ai ); |
|
|
|
|
||||||
3) PçIAi |
÷ |
|
|
|
|
||||||||
è i I |
ø |
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ |
|
ö |
ì |
|
|
Bi ÎP |
|
ü |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) PçUAi |
÷ |
= íUBi |
(Ai )ý. |
|
|
||||||||
è i I |
ø |
îi I |
|
|
|
|
þ |
|
|
||||
21. Пусть A = {1,2,3}, |
B = {a,b}. Определить множества: |
||||||||||||
а) A× B , |
|
|
|
|
|
|
|
в) A× A, |
|
д) A× , |
|||
б) B × A, |
|
|
|
|
|
|
|
г) B × B , |
|
е) × B . |
|||
22. Найти геометрическую интерпретацию множеств: |
|
||||||||||||
а) A× B , |
|
|
|
|
|
|
|
в) C × B , |
|
д) C × D , |
|||
б) A×C , |
|
[ |
] |
|
|
{ |
г) A× D , |
|
е) D × B , |
||||
если A = |
[ |
] |
|
B = |
|
|
} |
– множество |
точек квадрата |
||||
|
0,1 , |
|
|
2,3 , C = |
|
4,5,6 , D |
|||||||
с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
9
23. Доказать, что существуют A, B и C такие, что:
а) A´ B ¹ B ´ A , |
в) A× (B ×C) = ( A× B) ×C , |
б) A× B = B × A , |
г) A´(B ´C) ¹ ( A´ B) ´C . |
24.Какие из утверждений предыдущей задачи справедливы для неко- торых непустых множеств A, B и C ?
25.Доказать, что ( A× B) U(C × D) ( A UC) ×(B U D). Какие дополни-
тельные условия нужно наложить на множества A, B , C и D , чтобы включение можно было заменить равенством?
26.Доказать, что для произвольных множеств A, B , C и D :
1)( A U B) ´C = ( A´C) U(B ´C );
2)( A \ B) ´C = ( A´C) \ (B ´C) ;
3)A´(B \ C ) = ( A´ B) \ ( A´C) ;
4)( A I B) × (C I D) = ( A×C ) I(B × D) ;
5)A× B = ( A× D) I(C × B) , где A Ì C и B D .
27.Пусть A ¹ Æ, B ¹ Æ и ( A× B) U(B × A) = C × D . Доказать, что в этом случае A = B = C = D .
28. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P A2 . Составить матрицы отношений P , P и P−1 , если:
1)P = {(x, y) (x +1) − делитель (x + y)};
2)P = {(x, y) x ¹1 и x - делитель (x + y)}.
29.Составить матрицы отношений P и P−1 , если P Ì A2 , A = {1, 3, 5, 7}:
1) P = {(x, y) |
|
x + 2 = y}; |
3) P = {(x, y) |
|
x + y −1 A}; |
|
|
||||
2) P = {(x, y) |
|
(x + y) / 2Î A}; |
4) P = {(x, y) |
|
2 y + x Î A}. |
|
|
30. Составить матрицу отношения P , если P Ì (P(A))2 , A = {a,b}:
1) |
P = {(X ,Y ) |
|
X Ì Y , X ¹ Y}; |
3) |
P = {(X ,Y ) |
|
X IY ¹ Æ}; |
|
|
||||||
2) P = {( X ,Y ) |
|
X Y }; |
4) P = {( X ,Y ) |
|
X = A \ Y}. |
||
|
|
||||||
10