Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Zad-TFKP-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

254 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

17.

f( t)

18.

f( t)

2 a

-1

19.

f( t)

-2

-4

2 a

3 a

20.

21.

f( t)

2 a

-1

22.

23.

f( t)

-1

Ответы. 1. а)

+ 1

;

б)

p − m

. 2.

. 3.

− 1

(p − 2)2

(p − m)2 + n2

(p + 1)4

(p − 1)2

p2 − 2p

p − 3

p + α

e−bp

2 2

. 5. 2(p −

3) − 2 ·

3)2

. 6.

2(p + α)

α)2

4β2

. 7.

−

bp−

+pe

−

−e

−

p +

−

. 10.

1−

11.

− 2

12.

1− 2

. 13.

2p +ap2 p

+ 4

e−

ap−

e−

− e−

∞

(

(2k

be−

14.

. 15.

−p2

16.

. 17.

p kX=0

−

p (p + b)

ekp

F(p)

2ap

− 1

ap.

F(p)

e−ap

e−2ap .

18.

= ap2

−

+ p

−

19.

−

20.

F(p)

= −1

e−2

−

e− . 21. F(p) = p

−

e−

−

e−2 .

ap2

ap +

+ap

22.

F(p) = p

−

e−

+ +

e−3 .

23. F(p) = −

e−

e−2 .

ap2

§16. Теорема умножения изображений. Нахождение оригиналов по изображению

Найти изображения следующих функций

1.	Zt et−τ sinτdτ.	2.	Zt e2τ cos(t − τ)dτ.
	0		0
3.	Zt (t − τ)2 chτdτ.	4.	Zt (t − τ)n f(τ)dτ.

0 0

5.Zt e2(t−τ)τ2dτ.

Для данных изображений найти оригиналы и построить их графики.
6.			2e−p										7.													e−2p
6.	F(p) =			p3 .									7.							F(p)			=			p2			.
8.			e−2p										9.													e−3p
	F(p) =						.													F(p)			=							.
	F(p) =		p − 1				.													F(p)			=			p + 3				.
Найти оригиналы										1по изображениям.																											1
10.	F(p) =															.							11.							F(p) =														.
10.	F(p) =				p2	+p				4p			+		5	.							11.							F(p) =				p2			4p			+		3		.
12.						+p							+										13.													+p				+
	F(p) =												.																	F(p) =												.
	F(p) =				(p + 11)2								.																	F(p) =				p2 +11 2								.
14.	F(p) =				p +3			2p22+ p3										.					15.							F(p) = 7− p + p2 .
16.	F(p)	=			2p			+ p					+			2p + 2					.		17.							F(p) =							1						.
16.	F(p)	=			p5 + 2pp4 +												22p3				.		17.							F(p) =				p2		p2 + 1							.
18.	F(p) =														+									.
18.	F(p) =				(p + 1)(p −												2n)!			p2 + 4				.
19.	F(p) =				p (p + 1)(p + 2). . . (p + n)																						.
20.	F(p) =															1									.
20.	F(p) =				p4 +22p3 + 3p2														+ 2p + 1						.
21.	F(p)	=				p				+			2p −					1			.
21.	F(p)	=			p3 +					3p2 +						3p + 1					.														2p + 3
22.	F(p)	=				p					.										23.								F(p)			=			2p + 3										.
22.	F(p)	=			p3 +					1	.										23.								F(p)			=	p3+24p2 + 5p												.
24.	F(p) =									1										.	25.								F(p)			=		p +				2p − 1										.
24.	F(p) =				(p	−				1)2			(p			+		2)		.	25.								F(p)			=	p3 −			2p2 + 2p −											1	.
26.	F(p)	=				3p2								.							27.								F(p)			=			e−						+					pe−2						.
26.	F(p)	=			p3								2	.							27.								F(p)			=	p2			2p		+		5	+					p2		+		9		.
28.					e−−3p1																29.													e−−p				+										+
28.	F(p)	=			(p	1+				1)2			.								29.								F(p)			=	p(p − 1)						.
30.	F(p) =					1+							e−2p + 2e−3p + 3e−4p																		.
30.	F(p) =				p2					1			e−2p + 2e−3p + 3e−4p																		.
31.	F(p) = p2e−+									1 + ppe2								−2	4.
								p											p
32.	F(p)					− e−p/2 −															.
32.	F(p)				p (p							) p2									.
33.		= e−p							+ 12e−2p+										4 6e−3p
33.	F(p) =				p2				+				p3					+			p4 .
34.	F(p)	=				e−p/3									.
34.	F(p)	=			p p2 + 1										.	1																										2											n!F(p)				2
	Ответы. 1.															1							2.								p					3.						2									. 4.		n!F(p)		5.		2		6.
																						.													.																			.				.
								(p − 1)									p2 + 1					.						(p − 2)				p2 + 1			.					p2 p2							−		1				pn+1	.		p3	(p + 2)	.

(t − 1)2 η(t − 1).

7. (t − 2) η(t − 2). 8. et−2η(t − 2). 9. e3(t−3)η(t − 3). 10. e−2t sint.

e−t

e−3t

(

t)e−t. 13.

t. 14.

e−t

te−t.15.

2√3et/2

3√3t.

11.

2t2

− t

12.

−

e2t

sine−t

cos2t1−sin2t−

1 sin

16.

+2e− sint. 17. t −sint. 18.

−

10 −

. 19. 1−ne−

+ 2n(n −

1)e−2

+...+

(−1)ne−nt . 20.

32e−t/2

√23 sin

√3

t − t cos

√3

. 21. e−t 1− t2

√

e 2t

22.

31et/2 cos

t + √3sin

t − 31e−t . 23.

−

(4sint − 3cost).

24.

e−2t − et

+ 3tet

. 25. 2et + et/2 5√33 sin

√3

t − cos

√3

t .

√

26.

31tet − 31te−t/2 cos

t + √3sin

t . 27. 21et−1·sin2(t −1)·η(t −1)+cos3(t −2)·η(t −2).

28.

(t −3)e−(t−3)η(t −3). 29. et−1 − 1 η(t −1). 30. sin(t −2)·η(t −2)+2sin(t −3)·η(t −t 31)+

3sin(t

1−4) ·1η(t − 4). 31.1sh(t − 1) ·1η(t −11) + ch2(t −1

2) ·η(t −21). 32. 41η t − 21 − 51e−

− 2! ·

η t − 2

− 20 cos2 t − 2

· η t − 2 − 10 sin2 t − 2

· η

t − 2 . 1

33.

(t −1)·η(t −1)+(t −

2)2·η(t −

2)+(t −3)3·η(t −3). 34. η t − 3

−cos t − 3

·η t − 3 .

§17. Операционный метод для обыкновенных дифференциальных уравнений. Случай постоянных коэффициентов

Найти решение задачи Коши.

1.	x′ + x = e−t , x(0) = 1.
2.	x′ + 2x = sint, x(0) = 0.
3.	x′′ + x′ = 1, x(0) = 0,	x′(0) = 1.
4.	x′′ + 3x′ = et , x(0) = 0,	x′(0) = −1.
5.	x′′ + 2x′ − 3x = e−t , x(0) = 0, x′(0) = 1.

6.x′′′ + x′ = 1, x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0.


7.	x′′ + 2x′ + x = sint,			x(0) = 0,		x′(0) = −1.
8.	x′′′ + x′ = t,	x(0) = 0,			x′(0) = −1,		x′′(0) = 0.
9.	x′′′ + 2x′′ + 5x′		= 0,	x(0) = −1, x′(0) = 2, x′′(0) = 0.
10.	x′′ + x′ = cost,		x(0) = 2, x′(0) = 0.
11.	x′′′ + x′′ = sint,		x(0) = x′(0) = 1,				x′′(0) = 0.
12.	x′′ + 2x′ + 5x = 3,			x(0) = 1,		x′(0) = 0.
13.	x′′ + 4x = t,	x(0) = 1,			x′(0) = 0.

14.xIV − x′′ = 1, x(0) = x′(0) = x′′(0) = x′′′ = 0.

15.x′′ − x′ = tet, x(0) = x′(0) = 0.


16.	x′′ − x′ + x = e−t ,		x(0) = 0,				x′(0) = 1.
17.	x′′ + 2x′ + x = 2cos2 t,				x(0) = x′(0) = 0.
18.	x′′ + 4x = 2cost cos3t,					x(0) = x′(0) = 0.
19.	x′′ − 4x = sin 32t sin 2t ,				x(0) = 1,			x′(0) = 0.
20.	x′′′ + 3x′′ − 4x = 0,		x(0) = x′(0) = 0,							x′′(0) = 2.
21.	x′′′ + 3x′′ + 3x′ + x = 1,					x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0.
22.	x′′ + ω2x = a [η(t) − η(t − b)] ,						x(0) = x′(0) = 0.
23.	x′′ + x = 0,	x(π) = 1,				x′(π) = 0.
24.	x′′ + x′ = 2t,	x(1) = 1,				x′(1) = −1.
25.	x′′ − x′ = −2t, x(2) = 8,					x′(2) = 6.
26.	x′′ + x = −2sint,		x	π		= 0,	x′		π	= 1.
				2					2

Решить задачи Коши для уравнений, правые части которых заданы графически

27.	x′′ + 4x = f(t);					28.	x′′ + x = f(t);
	x(0) = x′(0) = 0.						x(0) = 1, x′(0) = 0.
	f( t)						f( t)
2
						2 b
						b
O		1	2		t	O	a			t
O		1	2			O	a
29.	x′′ + 9x = f(t);					30.	x′′ − 2x′ + x = f(t);
	x(0) = 0, x′(0) = 1.						x(0) = x′(0) = 0.
	f( t)						f( t)
1						1
O	1	2		3	t	O	a	2a	3 a	t
O	1	2		3		O	a	2a	3 a

Решить системы уравнений.

31.

x′ + y =

x(0)

y(0)

y′

x′

= y

et,

= −

32.

y′

x(0) = y(0) = 1.

x + e

x′

′

−

2t,

33.

x′′

−

x(0) = y(0) = x′(0) = 1.

2y′

x′′

+ 3x′

2x=

y′

−

x(0)

x′

(0)

34.

−

−x′ + x + y′′ − 5y′ + 4y = 0,

y(0) = 1,y′(0) = 0.

x′

= −

35.

x(0) = y(0) = 1.

y′ = 2x + 2y,

2x′′

−

x′

−

y′′

−

′

−

x(0)

x′(0)

36.

2x′′ + x′ + 7x − y′′ + y′ − 5y = 0,

y(0) = y′(0) = 0.

x′

′

−

et,

37.

x(0) = y(0) = 0.

2x′

y′

2y = cost,

x′

+ x

et,

y′

= − +

+ t

38.

= x − y + z + e3

z′ = x + y + z + 4,

x(0) = y(0) = z(0) = 0.

x′ = −y − z,

x(0) = −1,

= −x − z,

y(0) = 0,

39.

y′

z(0) = 1.

z′ = −x − y,

51 e−2t − cost+ +2sint .

tОтветы.5 3t

1. 2x(t) = (t +11)e−tt . 2.

3x(t)t

= t

x(t)1

=t t. 4.t

x(t) = 4e

+ 12e−t2

− 3

.5. x(t) =

8 3e − e−

−32et−

.6. x(t)4 =t t − sint.7.1

x(t) = 2

e−

− te−

−cost .8. x(t)1

− 1+ cost − sint.9. x(t) = 5e1

− sin2t t − 5e− cos2t − 5.

10.1

tx(t) = 2+2

e− − cost

t + sint .111. x(t) = 2t+2

e− + cost2t − sint .12. x(t)t

=t25

+5e−

cos2t+

5e− sin2t.13. x(t) = 4

+ cos2t − 8 sin2t.14. x(t) = cht −

− 1.15. x(t) = e

− t + 1 .16.

x(t) = 31e−t − 31et/2 cos

√3

t − 3√3sin

√3

t . 17. x(t) = 1− 2522e−t − 56te−t − 253 cos2t+ 254

sin2t.18.

x(t) = 4t sin2tt+t1221 (cos2t − cos4t). 19. x(t) = 8083 ch2t−101 cost+ 161 cos2t.20. x(t) = 92 et − e−2t (3t + 1) .

x(t) = 1− e−

+ t + 1 .

22. x(t)2=

sin2

ωt

·η(t)− sinπ2

η(t 2− b)

·η(t−b) .23.1 x(t)1= −cost.24. x(t) = (t−11)2+e1−t .25.

ω2

x(t) = t +12t.26. x(t) =1

t − 1−

cost.27. x(t) = 2 t − 2 sin2t ·η(t)−h(t − 1) − 2 sin2(t − 1)i·

h i

η(t−1)+ 2 (t − 2) − 2 sin2(t − 2) ·η(t−2).28. x(t) = [b+(1− b)cost]η(t)+[b − b cos(t − a)]η(t−

a).

29.x(t) = 13 sin3t ·η(t)+ 19 h(t − 1) − 13 sin3(t − 1)i·η(t −1)− 29 h(t − 2) − 13 sin3(t − 2)i·η(t − 2) + 19 h(t − 3) − 13 sin3(t − 3)i · η(t − 3).

30.x(t) = X3 (−1)k 1− et−ka + et−ka(t − ka) η(t − ka).31. x(t) = et,y(t) = −et.

k=0

,y(t) = 2− t − 2e−t

− 2te−t .

32.

x(t) = et ,y(t) = et.33. x(t) = 2 1− e−t

te−t

−t

e3t

+ 2

te3t

, y(t)

e3t

− te3t

x(t)

et ( t

− 2sin

t),y(t)

et (

+ 3sin

t).

34.

= 4

−2

−t

35.1

cos

= 3

+ 3

5 = 3

1−

cos2t

−22

x(t)

2cos2t

sin2t ,y(t)

sin2t .

37.

x(t) = e −

34e

−

cost + 17 sint − 2

,y(t) = −

3e + 51e

+ 17 cost − 17 sint.

+ 32e2t

38. x(t) = −151

e−2t

+ 1213e−t

− 2+ 61et + 32e2t + 203

e3t ;y(t) = 151

e−2t + 1213e−t − 2

− 61et

207 e3t ;z(t) = −1213e−t

− 21et + 34e2t + 41e3t . 39. x(t) = −et,y(t) = 0,z(t) = et.

§18. Интеграл Дюамеля. Формула Дюамеля

Найти решения задач с помощью интеграла Дюамеля.

x′′

− x′

e2t

, x(0) = x′(0) = 0.

(1+et )2

x′′

+ 2x′ + x =

e−t

, x(0) = x′(0) = 0.

e2t

x′′

− x′

, x(0) = x′(0) = 0.

2+1et

x′′ − x′ =

1+et

, x(0) = x′(0) = 0.

x′′ + x =

x(0) = x′(0) = 0.

2+ cost

x′′ + x = 4+1tg2 t , x(0) = x′(0) = 0.

x′′ + x =

x(0) = x′(0) = 0.

1+ cos2 t

x′′ + x =

x(0) = x′(0) = 0.

1+ sin2 t

x′′ − x = tht, x(0) = x′(0) = 0.

10.

x′′′ + x′

x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0.

2+ sint

+ 1 · ·lnt

+ 1 − 3.

= 2

− 1

− ln

2. −

Ответы.

x(t)

1+ et

)

t .

x(t)

tg(t/2)

√3

2 ln

−e +1. 4. x(t) = e −1−(t + ln2)

+ 1

+ e

+ 1

+ 1 .

5. x(t) = sint

t−

arctg

2√3

√+3

cost

ln(2

cost)

ln3

cost. 6.

x(t)

−

√

cost

+ 361

sint

−√3√

sint

−

√+

cost · arctg

√3cost

. 7.

x(t)

√

cost − 2√2 sint ·

ln √33sint

−

= cost · arctg(cost) − 4

cost

−

sint

−

x(t)

sint

arctg(sint)

cost

2√2 .

√2

10.

· 2√2

√2

−

sint

2ch

cost

sin

arctg

ln2

cos

x(t)

= −

−

x(t)

−

(

−

√23 (2sint + 1)

arctg

2tg 2 + 1

−

! .

√3

§19. Операционный метод для уравнений с переменными коэффициентами и уравнений в частных производных

Найти решения уравнений с переменными коэффициентами.

1.tx′′ + (2t − 1)x′ + (t − 1)x = 0.

2.tx′′ + 2x′ = 0.

3. x′′ + (t + 1)x′ + tx = 0,

x(0) = 1, x′(0) = −1.

4. x′′ + (t + b)x′ = 0,

x(0) = −1, x′(0) = 0.

(b — любое действительное число)

5. x′′ + tx′ − (t + 1)x = 0, x(0) = x′(0) = 1.

6. x′′ − tx′ + nx = 0,

n N

(уравнение Чебышева-Эрмита):

а) x(0) = 1, x′(0) = 0; n = 2k;

б) x(0) = 0, x′(0) = 1; n = 2k + 1.

Решить граничные задачи:

∂u

(x > 0,t > 0),

= k

∂ u

∂t

∂x2

u(0,t)2

= u0,

u(x,0) = 0.

∂u

= k

∂ u

(x > 0,t > 0),

∂t

∂x2

u(0,t)2

u(x,0) = u1.

∂u

= k

∂ u

(x > 0,t > 0),

∂t

∂x2

u(0,t)

2= acosωt,

u(x,0) = 0.

10.

∂u

= k

∂ u

(x > 0,t > 0),

∂t

∂x2

u(0,t)2= asinωt,

u(x,0) = 0.

11.

∂u

= k

∂ u

(x > 0,t > 0),

∂t

∂x2

2u(0,t)2= ω(t),

u(x,0) = 0.

12.

∂ u

+ bx(x − l)

(l > x > 0,t > 0),

∂t2

∂x2

u(0,t) = u(l,t) = 0,

u(x,0) =

∂u

(x,0) = 0.

∂t

Ответы. 1. x(t)

e−t .

x(t)

. 3. x(t)

e−t. x(t)

1 +

s t2s 2.

s 4.t2s+1

≡ −1

5. x(t) = et. 6. а) x(t) = sX=0(−1)s 2ss!Ck

; б) x(t) = sX=0(−1)s2s s!Ck

(2s)!

(2s + 1)!

2√

7. u(x,t)

= u0 1−

√2π

e−z dz .

√

8. u(x,t) = u1 √2π

e−z2dz.

a ∞

ρt

ρ ρdρ

9. u(x,t) = ae−

cos ωt − xr

−

Ze−

sinxr

10. u(x,t) =

ρ2 + ω2

a e−xs

∞e−ρt sinx

2k sin

ωt

ρ dρ

−

r k ρ2 + ω2

π Z

11. u(x,t) =

−

Zϕ(τ)

e− 4k(t τ)

x3 − 2lx2 + l3 +

−

dτ. 12.

u(x.t) = −12

2√

τ)3/2

πk

8π5

kX=0cos

(l 2k +sin1)5

l .

bl4

∞

(2k+1)πt

(2k+1)πx

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019235 Кб18Ya_lyublyu_tebya_no_ty_vse_menshe_i_menshe_daes....docx
#
01.05.202537 Кб1Yaponia.docx
#
16.07.201967 Кб4Yegoru_ispravit_nedostatki.docx
#
01.04.202589 Кб1Zachetnye_zadania_po_fizicheskoy_khimii.doc
#
01.05.2025453 Кб2Zad-_4_FMA-13.doc
#
27.03.2015254 Кб48Zad-TFKP-1.pdf
#
01.03.2025303 Кб0Zadacha_1_1.docx
#
01.07.2025542 Кб2Zadachi_est_nepravilnye.docx
#
01.07.20259 Мб3Zadania_po_khimii_chast_1.doc
#
27.03.2015172 Кб18Zadania.doc
#
01.07.2025782 Кб0Zadanie_BJD_zaochnoe (2).doc